Введение ...............................................................................................................................5
Глава 1. Интерполяционный подход к моделированию динамических систем с
интервальными параметрами. Алгоритм адаптивной интерполяции.....22
1.1. Интервальная арифметика .................................................................................22
1.2. Постановка задачи..............................................................................................28
1.3. Интерполяционный подход ...............................................................................30
1.4. Алгоритм адаптивной интерполяции................................................................31
1.4.1. Практическая оценка погрешности интерполяции........................................35
1.4.2. Разбиение вершин kd-дерева ..........................................................................39
1.5. Построение внешней интервальной оценки параметрического множества
решений .............................................................................................................................41
1.6. Теоретические аспекты алгоритма ....................................................................43
1.7. Оценка сложности многомерной интерполяции...............................................49
1.8. Оценка сложности алгоритма адаптивной интерполяции................................52
1.9. Результаты..........................................................................................................55
1.10. Выводы к главе 1................................................................................................71
Глава 2. Вариант алгоритма адаптивной интерполяции на основе разложения в
тензорный поезд ...............................................................................................73
2.1. Крестовая аппроксимация..................................................................................73
2.2. Тензорный поезд и алгоритм TT-cross..............................................................78
2.3. Программная реализация и распараллеливание алгоритма TT-cross...............85
2.4. Результаты применения параллельной реализации алгоритмов......................86
2.5. Использование TT-разложения в алгоритме адаптивной интерполяции.........90
2.6. Результаты..........................................................................................................96
2.7. Выводы к главе 2.............................................................................................. 101
Глава 3. Вариант алгоритма адаптивной интерполяции на основе разреженных
сеток. ................................................................................................................ 103
3.1. Интерполяционный подход ............................................................................. 105
3.2. Разреженные сетки с линейным базисом........................................................ 107
3.3. Результаты применения разреженных сеток с линейным базисом................ 115
3.4. Разреженные сетки с нелинейным базисом .................................................... 129
3.5. Результаты применения разреженных сеток с нелинейным базисом............ 137
3.6. Программная реализация и распараллеливание варианта алгоритма
адаптивной интерполяции на основе разреженных сеток........................................................ 141
3.6.1. Постановка задачи......................................................................................... 142
3.6.2. Описание алгоритма...................................................................................... 143
3.6.3. Распараллеливание и реализация ................................................................. 147
3.6.4. Результаты..................................................................................................... 150
3.7. Выводы к главе 3.............................................................................................. 154
Глава 4. Программная реализация классического варианта алгоритма
адаптивной интерполяции. Обзор и сравнение существующих методов и
программных средств.................................................................................... 156
4.1. Описание технологии CUDA........................................................................... 156
4.2. Постановка задачи............................................................................................ 161
4.3. Распараллеливание и реализация .................................................................... 161
4.3.1. Структуры данных ........................................................................................ 163
4.3.2. Обновление узлов интерполяционных сеток............................................... 166
3
4.3.3. Вычисление погрешности интерполяции..................................................... 166
4.3.4. Разбиение и удаление вершин ...................................................................... 167
4.4. Результаты расчетов......................................................................................... 169
4.5. Методы рядов Тейлора .................................................................................... 173
4.5.1. Библиотека AWA .......................................................................................... 176
4.5.2. Библиотека VNODE-LP ................................................................................ 177
4.6. Методы модели Тейлора.................................................................................. 177
4.6.1. Библиотека COSY Infinity............................................................................. 180
4.6.2. Библиотека RiOT........................................................................................... 180
4.6.3. Библиотека FlowStar ..................................................................................... 181
4.7. Сравнение методов и реализаций.................................................................... 181
4.8. Выводы к главе 4.............................................................................................. 192
Глава 5. Интервальный подход к параметрической идентификации динамических
систем. Алгоритм подвижного окна ............................................................ 194
5.1. Интервальная параметрическая идентификация в случае с точечными
экспериментальными данными ................................................................................................. 196
5.1.1. Постановка задачи......................................................................................... 197
5.1.2. Методы решения ........................................................................................... 199
5.1.3. Результаты..................................................................................................... 203
5.1.4. Обсуждение ................................................................................................... 209
5.2. Интервальная параметрическая идентификация на основе внешних
интервальных оценок фазовых переменных............................................................................. 210
5.2.1. Постановка задачи......................................................................................... 211
5.2.2. Методы решения ........................................................................................... 213
5.2.3. Результаты..................................................................................................... 216
5.3. Обобщение интерполяционного подхода на динамические системы
с эллипсоидными оценками параметров................................................................................... 220
5.3.1. Постановка задачи......................................................................................... 221
5.3.2. Описание интерполяционного подхода ....................................................... 222
5.3.3. Преобразования многомерного куба в многомерный шар.......................... 223
5.3.4. Результаты..................................................................................................... 225
5.4. Алгоритм подвижного окна для параметрической идентификации
динамических систем с прямоугольными и эллипсоидными областями неопределенности
параметров ........................................................................................................................... 230
5.4.1. Прямая задача................................................................................................ 231
5.4.2. Интервальная задача параметрической идентификации............................. 233
5.4.3. Построение целевой функции....................................................................... 234
5.4.4. Алгоритм подвижного окна.......................................................................... 237
5.4.5. Построение окна............................................................................................ 240
5.4.6. Результаты..................................................................................................... 242
5.5. Программная реализация и распараллеливание алгоритма интервальной
параметрической идентификации в случае с точечными экспериментальными данными..... 248
5.5.1. Постановка задачи......................................................................................... 249
5.5.2. Алгоритм параметрической идентификации ............................................... 251
5.5.3. Распараллеливание и реализация ................................................................. 254
5.5.4. Результаты..................................................................................................... 256
5.6. Выводы к главе 5.............................................................................................. 261
Глава 6. Применение разработанных подходов для решения прикладных и
исследовательских задач с интервальными параметрами....................... 263
6.1. Описание программного комплекса................................................................ 263
4
6.2. Расчет интервального тензора напряжений материалов с ковалентной
химической связью..................................................................................................................... 264
6.3. Бифуркации и хаос ........................................................................................... 269
6.3.1. Осциллятор Ван дер Поля............................................................................. 272
6.3.2. Осциллятор Дуффинга.................................................................................. 274
6.3.3. Аттрактор Лоренца........................................................................................ 277
6.4. Моделирование движения астероида с интервальными неопределенностями
в положении и скорости............................................................................................................. 282
6.5. Моделирование химических превращений с интервальными
неопределенностями в константах скоростей реакций ............................................................ 285
6.6. Идентификация интервальных констант скоростей химической реакции
окисления нафталина ................................................................................................................. 297
6.7. Расчет неравновесных течений в сопле с учетом интервальных
неопределенностей констант скоростей реакций ..................................................................... 303
6.8. Алгоритмы численного решения дробно-дифференциальных уравнений с
интервальными неопределенностями........................................................................................ 310
6.8.1. Введение ........................................................................................................ 310
6.8.2. Уравнение аномальной диффузии................................................................ 312
6.8.3. Численное решение уравнения аномальной диффузии............................... 313
6.8.4. Численное решение задачи параметрической идентификации уравнения
аномальной диффузии .......................................................................................................... 316
6.8.5. Результаты..................................................................................................... 319
6.9. Интервальные модели мемристоров ............................................................... 322
6.10. Выводы к главе 6.............................................................................................. 329
Заключение........................................................................................................................ 330
Литература ........................................................................................................................ 332
