Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Оператор Дирака на полупрямой с периодическим
потенциалом . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1 Определения и основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
1.1.2 Движение уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
1.1.3 Асимптотическая формула следов . . . . . . . . . . . . . . . 33
1.1.4 Обратная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 36
1.2 Периодический оператор Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.1 Уравнение Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
1.2.2 Периодический оператор Дирака . . . . . . . . . . . . . . . 39
1.2.3 Уравнение Дирака со сдвигом . . . . . . . . . . . . . . . . . 42
1.2.4 Оператор Дирака на полупрямой . . . . . . . . . . . . . . . 43
1.3 Теорема о неявной функции и свойства решений уравнения Дирака 46
1.3.1 Теорема о неявной функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . 46
1.3.2 Гладкость решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
1.3.3 Нули решений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 51
1.4 Доказательства основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.1 Движение уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
1.4.2 Асимптотическая формула следов . . . . . . . . . . . . . . . 63
1.4.3 Обратная задача . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 65
Глава 2. Оператор Дирака с дислокацией в периодическом потенциале 67
2.1 Определения и основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 67
2.1.2 Существование уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 69
2.1.3 Движение уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.1.4 Примеры потенциалов с разными типами уровней . . . . . . 72
2.1.5 Массовый оператор Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . 75
2.2 Функции Вейля–Титчмарша . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.1 Аналитические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 76
2.2.2 Асимптотические свойства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
3
Стр.
2.3 Оператор Дирака с дислокацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.1 Уравнение Дирака с дислокацией . . . . . . . . . . . . . . . 79
2.3.2 Спектр оператора Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
2.3.3 Уровни оператора Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
2.3.4 Непрерывность уровней оператора Дирака . . . . . . . . . . 91
2.4 Доказательства основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4.1 Существование уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 98
2.4.2 Движение уровней . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 99
2.4.3 Примеры потенциалов с разными типами уровней . . . . . . 105
2.4.4 Массовый оператор Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
Глава 3. Оператор Дирака на полупрямой с потенциалом с
компактным носителем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1 Определения и основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.1 Определения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
3.1.2 Обратная задача по функции Йоста и матрице рассеяния . . 112
3.1.3 Обратная задача по резонансам . . . . . . . . . . . . . . . . 114
3.1.4 Свойства резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 116
3.1.5 Устойчивость решения обратной задачи по резонансам . . . 117
3.1.6 Канонические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
3.2 Предварительные сведения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.1 Целые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
3.2.2 Банаховы алгебры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
3.3 Задача рассеяния для оператора Дирака . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3.1 Функция Йоста . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 127
3.3.2 Прямая задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
3.3.3 Обратная задача рассеяния . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 130
3.3.4 Потенциалы с компактным носителем . . . . . . . . . . . . 131
3.4 Доказательство основных теорем . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
3.4.1 Обратная задача по функции Йоста и матрице рассеяния . . 132
3.4.2 Обратная задача по резонансам . . . . . . . . . . . . . . . . 133
3.4.3 Свойства резонансов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 135
3.4.4 Устойчивость решения обратной задачи по резонансам . . . 137
3.4.5 Канонические системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 147
4
Стр.
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 151
Список сокращений и условных обозначений . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Список литературы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
