Оглавление
Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 4
1.Дифференциальныеуравненияивключенияспроизводнымидробного
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1. Интегралыипроизводныедробногопорядкаинекоторыеихсвойства . . . . 19
2. Дифференциальныеуравнениясдробнымипроизводными . . . . . . . . . . 20
3. Дифференциальныевключениясдробнымипроизводными . . . . . . . . . . 23
2.Дифференциальнаяиградля системыдробногопорядка.Уравнение
дляфункционалацены . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 26
4. Дифференциальнаяигра . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
5. Правилоэкстремальногоприцеливания. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 31
5.1. ОценкасверхудробнойпроизводнойвыпуклойфункцииЛяпунова. . 32
5.2. Процедуравзаимногоприцеливания . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 35
6. Коинвариантныепроизводныедробногопорядка . . . . . . . . . . . . . . . . 38
7. УравнениеГамильтона–Якобискоинвариантнымипроизводнымидробного
порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 44
8. Линейно-квадратичныезадачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.МинимаксноерешениеуравненияГамильтона–Якобисдробными
коинвариантнымипроизводными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
9. Верхнее,нижнееиминимаксноерешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
10. Принципсравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.1. ФункционалЛяпунова–Красовского . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 58
10.2. Доказательствопринципасравнения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
10.3. КомментариикпостроениюфункционалаЛяпунова–Красовского . . 74
11. Корректностьминимаксногорешения. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 77
12. Критерииминимаксногорешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
12.1. Характеристическиекомплексы.Нелокальныекритерии. . . . . . . . 80
12.2. Инфинитезимальныекритериивтерминахдробныхпроизводныхпо
многозначнымнаправлениям. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 84
13. Согласованностьминимаксногорешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
4.Функционалценыдифференциальнойигрыиминимаксноерешение
соответствующегоуравненияГамильтона–Якоби . . . . . . . . . . . . . . . 92
14. Существованиеценыигрыиоптимальныхпозиционныхстратегий
вдифференциальнойигредлясистемыдробногопорядка . . . . . . . . . . . 93
15. Инфинитезимальнаяхарактеризацияфункционалацены . . . . . . . . . . . 98
15.1. Свойствалипшицевостифункционалацены . . . . . . . . . . . . . . . 100
2
15.2. Неравенства для дробных производных функционала цены
по однозначным направлениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 102
16. Дальнейшие результаты для задачи оптимального управления системой
дробного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 110
16.1. Дробная дифференцируемость функционала оптимального
результата по направлениям . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
16.2. Оптимальная позиционная стратегия управления . . . . . . . . . . . . 114
16.3. Связь с принципом максимума Понтрягина . . . . . . . . . . . . . . . 118
17. О вязкостном решении уравнения Гамильтона–Якоби с дробными
коинвариантными производными . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 119
5. Другие конструкции оптимальных стратегий в дифференциальной игре
для системы дробного порядка . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18. Экстремальный сдвиг на сопутствующую точку . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
18.1. Окрестность для поиска сопутствующих точек и леммы о близости
движений . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 125
18.2. Оптимальные позиционные стратегии управления игроков . . . . . . 130
19. Аппроксимация при помощи дифференциальных игр для систем
с запаздыванием . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
19.1. Разности дробного порядка и некоторые их свойства . . . . . . . . . . 133
19.2. Аппроксимирующая динамическая система с запаздыванием . . . . . 137
19.3. Аппроксимирующая дифференциальная игра . . . . . . . . . . . . . . 145
20. Сведение дифференциальной игры для линейной системы дробного порядка
к дифференциальной игре для обыкновенной дифференциальной системы . 149
20.1. Информационный образ позиции системы дробного порядка . . . . . 151
20.2. Вспомогательная дифференциальная игра для обыкновенной
дифференциальной системы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
20.3. Теоремы о сведении . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 154
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 160
Публикации автора по теме диссертации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
