ВВЕДЕНИЕ…………………………………………………………………………………………………….6
ГЛАВА 1. УРАВНЕНИЯ ТУРБУЛЕНТНОГО ТРАНСПОРТА
• Транспорт тензора………………………………………………………………………………..38
• Транспорт скаляра, вектора и ко-вектора……………………………………………38
ГЛАВА 2. МОДЕЛЬ КАЗАНЦЕВА-КРАЙЧНАНА
• Описание модели…………………………………………………………………………………40
• Уравнение Казанцева-Крайчнана для пассивного скалярного поля….41
• Уравнение Казанцева-Крайчнана для пассивного магнитного поля….43
ГЛАВА 3. МЕТОД ОБОБЩЕННОГО СТОХАСТИЧЕСКОГО КВАНТОВАНИЯ
• Последовательность предельных переходов в СДУ…………………………..45
• Представление Фейнмана-Каца для параболического уравнения……46
• Обобщенное стохастическое квантование…………………………………………52
• Максимальный инкремент………………………………………………………………….54
ГЛАВА 4. АСИМПТОТИЧЕСКОЕ ПОВЕДЕНИЕ РЕШЕНИЙ УРАВНЕНИЯ КАЗАНЦЕВАКРАЙЧНАНА
• Пассивный скаляр………………………………………………………………………………..55
• Пассивное магнитное поле………………………………………………………………….58
• Порог генерации в модели Вайштейна-Кичатинова…………………………..69
ГЛАВА 5. МЕТОД КВАЗИЛАГРАНЖЕВЫХ ТРАЕКТОРИЙ В ЗАДАЧАХ ТРАНСПОРТА
• Локализованное возмущение……………………………………………………………..61
• Квазилагранжева система координат…………………………………………………61
• Уравнения транспорта в Бетчелоровском приближении…………………..62
ГЛАВА 6. ЛИНЕЙНЫЕ ИЗОТРОПНЫЕ СИСТЕМЫ С МУЛЬТИПЛИКАТИВНЫМ ШУМОМ
3
• Матрица эволюции………………………………………………………………………………64
• Дискретные произведения независимых матриц………………………………65
a.) Некоммутативный закон больших чисел…………………………………………….65
б.) Ляпуновский спектр и обобщенные ляпуновские показатели произведения
изотропно распределенных матриц………………………………………………………...68
• Некоммутативная теория больших уклонений для континуальных
произведений случайных матриц……………………………………………………….71
а.) Локальная куммулянтная функция……………………………………………………..74
б.) Низкочастотный предел и функция Крамера……………………………………..76
в.) Некоммутативная теория больших уклонений…………………………………..78
г.) Инфинитезимальные переменные Ивасавы……………………………………….80
д.) Функциональный Якобиан…………………………………………………………………..80
е.) Изотропные системы……………………………………………………………………………84
ж.) Эффективный дельта-процесс…………………………………………………………….90
ГЛАВА 7. ОТКЛОНЕНИЕ ОТ ГАУССОВОЙ СТАТИСТИКИ. V3-МОДЕЛЬ
• Трехмерные изотропные Т-неинвариантные потоки…………………………92
• V3-модель…………………………………………………………………………………………….93
ГЛАВА 8. ЭВОЛЮЦИЯ СКАЛЯРНОГО ЛОКАЛИЗОВАННОГО ВОЗМУЩЕНИЯ
• Общий случай………………………………………………………………………………………96
• Локализованное возмущение в модели Казанцева-Крайчнана………..97
• Локализованное возмущение в V3-модели………………………………………. 98
ГЛАВА 9. СКАЛЯРНОЕ ЛОКАЛИЗОВАННОЕ ВОЗМУЩЕНИЕ В СИСТЕМЕ РЕАКЦИЯДИФФУЗИЯ
• Введение…………………………………………………………………………………………….…99
• Фронт реакции……………………………………………………………………………………..100
• Качественное описание……………………………………………………………………….102
• Пассивный скаляр с неограниченным рождением…………………………….107
4
• Скаляр с рождением и насыщением…………………………………………………..108
• Эволюция популяции…………………………………………………………………………..109
• Поведение пассивной примеси вблизи точки насыщения………………..113
ГЛАВА 10. ТОПОЛОГИЯ МАГНИТНЫХ ЛОКАЛИЗОВАННЫХ ВОЗМУЩЕНИЙ
• Этапы эволюции магнитных флуктуаций…………………………………………….116
• Энергетическое соответствие………………………………………………………………117
• Эволюция магнитного локализованного возмущения на бэтчелоровском
этапе………………………………………………………………………………………………………119
а.) Этап вмороженности…………………………………………………………………………….120
б.) Диффузионный этап……………………………………………………………………………..122
• Эволюция магнитного локализованного возмущения на постбэтчелоровском
этапе………………………………………………………………………………………………………123
• Бетчелоровская эволюция высших моментов
однородных флуктуаций………………………………………………………………………126
ГЛАВА 11. ЛОКАЛЬНАЯ ГЕОМЕТРИЯ d-МЕРНЫХ СТОХАСТИЧЕСКИХ ПОТОКОВ
• Гиперповерхности и перемежаемость……………………………………………….128
• Стохастическая эволюция в касательных пространствах……………………132
• Статистика тензора градиентов……………………………………………………………133
• Изотропная мера в пространстве матриц……………………………………………135
• Лемма о симметрии куммулянтной функции…………………………………….137
• Стохастические интегралы…………………………………………………………………..138
• Явные вычисления для d=3………………………………………………………………….139
ЗАКЛЮЧЕНИЕ……………………………………………………………………………………………..142
ЛИТЕРАТУРА……………………………………………………………………………………………….147
5
ПРИЛОЖЕНИЕ A. ФОРМУЛА ФУРУТЦЫ-НОВИКОВА ДЛЯ СИНГУЛЯРНЫХ
ФУНКЦИОНАЛОВ
• Конечномерная формула ФН………………………………………………………………151
• Бесконечномерная формула ФН…………………………………………………………153
• Регуляризация……………………………………………………………………………………..154
ПРИЛОЖЕНИЕ Б. ТЕОРИЯ БОЛЬШИХ УКЛОНЕНИЙ И ПЕРЕМЕЖАЕМОСТЬ
• Низкочастотная асимптотика кумулянтного функционала………………..156
• Функция Крамера (rate function).…………………………………………………………158
• Одномерное мультипликативное блуждание…………………………………….159
• Одномерное аддитивное блуждание………………………………………………….160
• Перемежаемость мультипликативного блуждания…………………………….162
ПРИЛОЖЕНИЕ В. ФУНКЦИОНАЛЬНЫЙ ЯКОБИАН И ДИСКРЕТИЗАЦИЯ
• Линейная
