Оглавление
Введение 5
1 Квазилинейныеэллиптическиедифференциально–разностные
уравнения 18
1.1 Постановказадачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 18
1.2 РазбиениеобластиQ Rnисвойстваразностныхоператоров 20
1.3 Уравненияссильномонотоннымоператором.Существование
иединственностьобобщенногорешения . . . . . . . . . . . . . 28
1.4 Операторысполуограниченнойвариациейи(S+)–операторы.
Существованиеобобщенногорешения . . . . . . . . . . . . . . 33
1.5 Условиесильнойэллиптичностидлясимметрическогоразност
ногооператора . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 45
2 Нелинейныеэллиптическиедифференциально–разностные
уравнения 49
2.1 Алгебраическоеусловиеэллиптичностиисуществованиере
шения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 49
2.2 Алгебраическоеусловиесильнойэллиптичностиисущество
ваниерешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 59
2.3 Уравнениясp–лапласианом. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
2.3.1 ПримерыприQ R . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 70
2.3.2 Достаточноеусловиесильнойаккретивности . . . . . . 76
2.3.3 Свойстваоператора pRQисуществованиеобобщен
ногорешения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
3 Квазилинейныепараболическиедифференциально–разност
ныеуравнения 91
3.1 Постановканачально–краевойзадачи.Операторноеуравнение 91
3.2 Разбиениеобласти Tисвойстваразностногооператора . . . 94
3
3.3 Квазилинейные параболические уравнения с
сильно монотонным дифференциально–разностным операто
ром. Существование и единственность обобщенного решения . 97
3.4 Операторы с (V;W)–полуограниченной вариацией и облада
ющие свойством (S+) на W операторы. Существование обоб
щенного решения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 104
3.5 Существованиепериодическихрешенийпараболическогодиф
ференциально–разностного уравнения . . . . . . . . . . . . . . 116
4 Нелинейныепараболическиедифференциально–разностные
уравнения
121
4.1 Дифференциально–разностные операторы, обладающие свой
ством (S+) на W . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
4.2 Параболические уравнения с оператором с (VW)–полуогра
ниченной вариацией . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 131
4.3 Параболическоеуравнениес p–лапласианомиразностнымопе
ратором . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 141
4.4 Существование периодических решений . . . . . . . . . . . . . 145
5 Дифференциальные уравнения с нелокальными краевыми
условиями типа Бицадзе–Самарского
149
5.1 Разностный оператор и изоморфизм соболевских пространств 149
5.2 Существование решения нелинейного эллиптического диффе
ренциального уравнения с нелокальными краевыми условиями 158
5.3 Существование решения начально–краевой задачи для пара
болического дифференциального уравнения с нелокальными
краевыми условиями типа Бицадзе–Самарского . . . . . . . . 171
5.3.1 Постановка задачи. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
5.3.2 Максимальная монотонность оператора tRQ. . . . . . 177
5.3.3 Линейная параболическая задача . . . . . . . . . . . . . 180
5.3.4 Квазилинейные параболические уравнения . . . . . . . 188
5.3.5 Нелинейные нелокальные задачи . . . . . . . . . . . . . 195
4
5.4 Существованиепериодическихпоtрешенийпараболических
дифференциальныхуравненийснелокальнымикраевымиусло
виямитипаБицадзе–Самарского . . . . . . . . . . . . . . . . . 200
Заключение. . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 209
Литература . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 210
