Введение
1 Аппроксимация функций 25
1.1 Введение 25
1.2 Выпуклозначные многозначные отображения и их свойства 29
1.3 Аппроксимация липшицевых функций 32
1.3.1 Аппроксимация Кларка и Мишеля-Пено 32
1.3.2 Новый способ аппроксимации и связь с аппроксимацией Кларка 35
1.3.3 Необходимые условия оптимальности 52
1.4 Построение непрерывных конструкций для липши
цевых функций 59
1.4.1 е- субдифференциалы для выпуклых функций 61
1.4.2 а-субдифференциал для липшицевых функций 66
1.4.3 Применение непрерывных расширений субдифференциала Кларка для нахождения точки минимума выпуклой функции 78
1.5 Нижние выпуклые аппроксимации 81
1.5.1 Определения и примеры 83
1.5.2 Алгоритм построения ГНВА 85
1.6 Исчисление ГНВА 89
1.6.1 Сумма функций 89
1.6.2 Произведение функций 91
1.6.3 Общая теорема для гладкой комбинации лип-шицевых функций 95
1.6.4 Негладкие операции типа max и min 98
1.7 Обобщение субдифференциала Кларка для липши-цевых выпуклозначных многозначных отображений 102
1.8 Обобщенные матрицы для липшицевых функций 114
1.8.1 Субдифференциал Кларка для отображения Daf(-) 114
1.8.2 a, S- обобщенные матрицы 118
1.8.3 Равномерная непрерывная аппроксимация субдифференциала Кларка и ее применение в оптимизации 126
2 Аппроксимация многозначных отображений 129
2.1 Введение 129
2.2 Определения и примеры МО. Способы аппроксимаций МО 130
2.3 Исчисление множеств возможных направлений 139
2.4 Вычисление матрицы Р(-,-) Для некоторых видов липшицевых МО 144
2.5 Аппроксимация МО. Вид конуса Булигана для лип-шицевого МО через матрицы вторых частных производных опорной функции 152
2.6 Маргинальные функции. Вывод производной по направлению маргинальной функции 166
2.7 Нижние выпуклые аппроксимации для маргинальных функций 172
2.8 Дифференциальные свойства функции экстремума по липшицевому МО 180
2.9 Функции экстремума по є- субдифференциальному отображению 184
3 C2(D) Интегральные аппроксимации негладких функций, сохраняющие e(d) точки локальных экстремумов 193
3.1 Введение 194
3.2 Сглаживающие интегральные функции 196
3.3 Алгоритм нахождения є(2))-стационарньіх точек, сходящийся со сверхлинейной скоростью 208
4 Применение метода овыпукления и нижних выпуклых аппроксимаций в глобальной оптимизации 213
4.1 Применение метода овыпукления для решения некорректных задач 214
4.2 Постановка задачи 217
4.3 Решение задачи 219
4.4 Заключение 227
5 К Вопросу о представимости функции двух переменных в виде разности выпуклых функций 229
5.1 Введение 230
5.2 Доказательство теоремы 232
5.3 Геометрическая интерпретация теоремы 1 246
6 Метод построения исчерпывающего множества верхних выпуклых аппроксимаций 249
6.1 Введение 249
6.2 Метод построения верхнего экзостера для функции 256
6.3 Заключение 268
7 Способ определения обобщенных градиентов и обобщенных матриц вторых частных производных липшицевой функции с помощью интеграла стеклова 269
7.1 Введение 270
7.2 Построение субдифференциала первого порядка 272
7.3 Построение субдифференциала второго порядка 285
7.4 Применение субдифференциалов первого и второго порядков в оптимизации 293
7.5 Исчисление для субдифференциалов первого и второго порядков
