Введение
1- Уравнение sin-Гордона и псевдосферические поверхности -, 6
1.1 Уравнение sin-Гордона 6
1.1.1 Задача Гурса для уравнения sin-Гордона 6
1.1.2 Задача Коши для уравнения sin-Гордона 7
1.1.3 Метод разделения перемешгых 11
1.1.4 Метод малого параметра 12
1.1.5 Автомодельные решения 13
1.1.6 Преобразование Бэклунда 15
1.1.7 Копечнозониые решения 17
1.2 Псевдосферические поверхности 18
1.2.1 Основные уравнения теории поверхностей 19
1.2-2 Асимптотические координаты 21
1.2.3 Линии кривизны. Поверхности Иоахимсталя 28
1.2.4 Геометрическое преобразование Бэклунда 34
1.2.5 Классические псевдосферические поверхности 37
2. Асимптотика решений уравнений второго порядка 41
2-1 Асимптотика осциллирующих решений 41
2.1.1 Постановка задачи 41
2.1.2 Построение приближенного решения 43
2.1.3 Метод вариации постоянных 45
2.1.4 Метод последовательных приближений 46
2.1.5 Асимптотические разложения 49
2.1.6 Асимптотическая устойчивость в общем случае 50
2.1.7 Отучай автономной правой части 54
2.1.8 Асимптотика решения и его производной 58
2.1-9 Осциллируемость решений 60
2.2 Асимптотика решений в окрестности особой точки... 62
2.2.1 Постановка задачи 62
2.2.2 Построение приближенного решения 62
2.2.3 Метод вариации постоянных 63
2.2.4 Метод последовательных приближений 63
2.3 Приложение к автомодельному уравнению sin-Гордона. 66
2.3.1 Асимптотическое разложение на бесконечности . 66
2.3.2 Асимптотическое разложение в нуле 68
3, Поверхность Амслера т 70
3.1 Поверхность Амслера. Введение 70
3-11 Постановка задачи 70
3.1.2 Псевдосферическая поверхность, содержащая две прямолинейные образующие 71
3.1.3 Обзор используемых асимптотических методов» . 73
3.2 Асимптотические линии поверхности Амслера 74
3.2.1 Система уравнений Френе 74
3,2,2 Основной триедр Б нуле 75
3.23 Основной триедр на бесконечности 78
3.2.4 Построение регулярной поверхности в окрестности прямолинейной образующей 80
3.3 Ребра поверхности Амслера 82
3.3.1 Система уравнений Френе 82
3.3.2 Основной триедр на бесконечности 84
3.3.3 Степенной ряд для основного триедра 86
3-3,4 Сводка асимптотических разложений для ребра. 88
3.4 Радиус-вектор поверхности Амслера 91
3.4.1 Уравнение для радиус-вектора 92
3.4.2 Формулы Римана 94
3.4.3 Метод разделения переменных 97
3.4.4 Асимптотическое разложение решения 98
3.4.5 Построение поверхности в окрестности ребра. , 101
4. Двухсолитонные решения и их интерпретация 103
4.1 Двухсолитонные решения. Введение 103
4.1.1 Двухсолитонные решения 103
4.1.2 Двухсолитонные поверхности 104
4.1.3 Двухсолитонные поверхности Иоахимсталя 106
4.2 Классификация двухсолитонных поверхностей 108
4.2.1 Радиус-вектор ребра. Геодезическая кривизна и кручение 108
4.2.2 Анализ знаков кривизны и кручения 111
4.2.3 Иллюстрации 114
Приложение 115
