Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 5
Глава 1. Традиционные методы решения начальных и
краевых задач . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1 Начальные задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 16
1.1.1 Явный метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 17
1.1.2 Явный метод Рунге-Кутты четвертого порядка . . . . . . 17
1.1.3 Переменный шаг интегрирования. Правило Рунге . . . . 18
1.1.4 Неявный метод Эйлера . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 19
1.2 Наилучшая параметризация . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 21
1.3 Краевые задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 22
1.3.1 Метод стрельбы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 24
Глава 2. Некоторые начальные и краевые задачи,
моделирующие физические процессы . . . . . . . . . . . 27
2.1 Степенной тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 27
2.1.1 Традиционный подход . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 29
2.1.2 Наилучшая параметризация . . . . . . . . . . . . . . . . 33
2.2 Экспоненциальный тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 37
2.2.1 Наилучшая параметризация . . . . . . . . . . . . . . . . 38
2.2.2 Численные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 39
2.3 Краевая задача сверхзвукового течения . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.1 Постановка задачи . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 41
2.3.2 Случай канала постоянного сечения . . . . . . . . . . . . 42
2.3.3 Случай канала переменного сечения . . . . . . . . . . . . 46
2
Глава 3. Экспоненциальная модификация наилучшей
параметризации . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 50
3.1 Модифицированный наилучший аргумент. Общий подход . . . . 50
3.2 Экспоненциальный наилучший аргумент . . . . . . . . . . . . . 52
3.3 Степенной тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 53
3.3.1 Экспоненциальный наилучший аргумент . . . . . . . . . 53
3.3.2 Численные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 54
3.4 Экспоненциальный тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 55
3.4.1 Экспоненциальный наилучший аргумент . . . . . . . . . 56
3.4.2 Численные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 56
3.5 Краевая задача сверхзвукового течения . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.1 Случай постоянного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . 58
3.5.2 Случай переменного сечения . . . . . . . . . . . . . . . . 60
Глава 4. Абсолютная устойчивость численных схем . . . . . . . . 64
4.1 Устойчивость явной схемы метода Эйлера . . . . . . . . . . . . . 64
4.1.1 Область устойчивости метода Эйлера для задачи,
преобразованной к наилучшему аргументу . . . . . . . . 66
4.1.2 Область устойчивости метода Эйлера для задачи,
преобразованной к модифицированому наилучшему
аргументу . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 71
4.2 Экспоненциальный тест . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 79
Заключение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 82
Список сокращений и условных обозначений . . . . . . . . . . . . 84
Список использованных источников . . . . . . . . . . . . . . . . . . 85
Список рисунков . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
