Введение
1, Математическое моделирование и дифференциально-алгебраические уравнения 26
1.1. Модели, содержащие процессы с существенно различными характерными временами 26
1.1.1. Математические модели в биологии и медицине 27
1.1.2. Математические модели в электротехнике 31
1.1.3. Корректность представления математических моделей системами дифференциально-алгебраических уравнений 33
1.2. Системы дифференциально-алгебраических уравнений 36
1.2.1. Системы линейных дифференциально-алгебраических уравнений с постоянными коэффициентами 37
1.2.2. Системы линейных дифференциально-алгебраических уравнений с переменными коэффициентами 41
1.2.3. Дифференциально-алгебраические уравнения общего вида . 52
1.2.4. Задача Коши с алгебраической связью на фазовые неременные 54
2. Одношаговые численные методы 60
2.1. Асимптотические оценки погрешности итерационных методов . 60
2.1.1. Метод простых итераций 60
2.1.2. Модифицированный метод Ньютона 65
2.1.3. .Лемма о выпуклости 67
2.2. Методы Рунге-Кутты 68
2.2.1. Построение итеративных методов Рунге-Кутты 68
2.2.2. Сходимость итеративных методов Рунге-Кутты 71
2.2.3. Дифференциальные уравнения 89
2.3. Одношаговые методы общего вида 90
2.3.1. Построение итеративных одношаговых методов 90
2.3.2. Сходимость итеративных одношаговых методов 92
2.4. Численные примеры 96
2.4.1. Простые итерации 96
2.4.2. Ньютоновские итерации 101
3. Практическая реализация и эффективность итеративных методов Рунге-Кутты 104
3.1. Оптимизация простых итераций 105
3.1.1. Стандартные методы 105
3.1.2. Диагонально оптимальные методы 106
3.1.3. Эффективность диагонально оптимальных методов 111
3.1.4. Псевдодиагоналыю оптимальные методы 114
3.1.5. Практическая реализация 117
3.2. Итеративные методы Рунге-Кутты с нетривиальным предиктором . 122
3.2.1. Построение методов с нетривиальным предиктором 122
3.2.2. Численные примеры 124
3.2.3. Сходимость методов с нетривиальным предиктором 127
3.2.4. Практическая реализация 135
3.3. Оптимизация ньютоновских итерации 137
3.3.1. Способы реализации ньютоновских итераций 138
3.3.2. Оптимизация по времени 143
3.3.3. Оптимизация по памяти 148
3.3.4. Численные примеры 148
4. Автоматический контроль точности для одношаговых методов 151
4.1. Контроль локальной ошибки 151
4.1.1. Одношаговые методы с переменным шагом 152
4.1.2. Управление размером шага интегрирования 153
4.1.3. Численные примеры 156
4.2. Разложение глобальной ошибки 159
4.2.1. Дифференциально-алгебраические уравнения 159
4.2.2. Дифференциальные уравнения 164
4.3. Контроль глобальной ошибки 164
4.3.1. Неявное локально-глобальное управление шагом интегрирования 165
4.3.2. Неявные методы 168
4.3.3. Жесткие задачи t .,v 175
4.3.4. Полуявное локально-глобальное управление шагом интегрирования 181
4.3.5. Дифференциальные уравнения 188
5. Одношаговые экстраполяционные методы 190
5.1. Неявная экстраполяция 190
5.1.1. Экстраполяционные методы 191
5.1.2. Неявные экстраполяционные методы 194
5.2. Квадратичная экстраполяция 200
5.2.1. Симметричные одношаговые методы 201
5.2.2. Симметричные методы Рунге-Кутты 207
5.2.3. Неявная квадратичная экстраполяция 212
5.3. Минимально неявные методы 217
5.4. Дифференциально-алгебраические уравнения 226
5.4.1. Неявная экстраполяция 226
5.4.2. Симметричные одношаговые методы 228
5.4.3. Квадратичная экстраполяция 236
5.4.4. Практическая реализация 238
6. Многошаговые численные методы 242
6.1. Линейные многошаговые методы 242
6.1.1. Построение итеративных многошаговых методов 242
6.1.2. Сходимость итеративных многошаговых методов 244
6.1.3. Нетривиальный предиктор 253
6.2. Численные примеры 256
6.2.1. Формулы дифференцирования назад 256
6.2.2. Методы Адамса 260
7. Автоматический контроль точности для многошаговых методов 263
7.1. Управление локальной ошибкой 263
7.1.1. Многошаговые методы с переменным шагом 264
7.1.2. Вычисление главного члена локальной ошибки 267
7.2. Контроль глобальной ошибки 272
7.2.1. Локально-глобальное управление размером шага интегрирования272
7.2.2. Неявные многошаговые методы 281
7.2.3. Численные примеры 285
7.3. Многошаговые экстраполяционные методы 292
7.3.1. Многошаговая экстраполяция 293
7.3.2. Модифицированное локально-глобальное управление шагом интегрирования 297
Литература 301
