Введение
Глава 1 Асимптотические разложения в задаче об уединенной волне 13
1.1 Введение 16
1.2 Постановка задачи
1.2.1 Первый способ обезразмеривания 22
1.2.2 Второй способ обезразмеривания 24
1.2.3 Используемые ряды
1.3 Линеаризация 26
1.4 Квадратичная задача 29
1.5 Разложение мелкой воды
1.5.1 Первый член разложение мелкой воды 32
1.5.2 Три ряда 32
1.5.3 Получение дифференциального уравнения 34
1.5.4 Решение дифференциального уравнения 34
1.5.5 Члены более высокого порядка малости 36
1.6 Ряд Овсянникова 36
1.6.1 Построение решения 37
1.6.2 Определяющее уравнение 38
1.6.3 Численное решение определяющего уравнения 39
1.7 Ряд Вайтинга 44
1.7.1 Начальные члены ряда Вайтинга 47
1.7.2 Неопределенность первого коэффициента 48
1.7.3 Численное исследование рядов Вайтинга 49
1.8 Суммирование рядов Вайтинга 52
1.8.1 Производящие функции 52
1.8.2 Дискретное преобразование Фурье 56
1.8.3 Сведение к системе дифференциальных уравнений
1.9 Второй способ суммирование рядов Вайтинга 61
1.9.1 Бесконечная система дифференциалвных уравнений 62
1.9.2 Конечная система дифференциалвных уравнений 63
1.9.3 Более общая задача 63
1.10 Уравнение Бабенко 65
1.10.1 Вывод уравнения Бабенко для уединенной волнві 65
1.10.2 Ряды Вайтинга для уравнения Бабенко 67
1.10.3 Интеграл системы 69
1.11 Случай в = тг/3 71
1.11.1 Введение новых неизвестнвіх 71
1.11.2 Интегрирование системві уравнений 72
1.11.3 Засасывание жидкости под криволинейную крышку 73
1.11.4 Приближенное описание уединенной волны максимальной амплитуды 77
1.12 Случай в = тг/4 78
1.12.1 Введение новых неизвестных 79
1.12.2 Интегрирование системы 80
1.12.3 Особые точки 81
1.12.4 Свободная граница
1.13 Численное интегрирование системы 86
1.14 Задача о водопаде 90
1.15 Сходимость ряда Овсянникова
1.15.1 Связь ряда Вайтинга и ряда Овсянникова 93
1.15.2 Радиус сходимости 94
1.15.3 Характер особенности 96
1.15.4 Разрывность ряда Овсянникова 98
1.16 Модификация рядов 99
Выводы по главе 1 102
Глава 2 Периодические гравитационные волны на поверхности жидкости 104
2.1 Постановка задачи 109
2.2 Разложение Стокса 112
2.3 Квадратично-нелинейная задача 114
2.4 Разложение длинных волн 118
2.5 Сравнение двух решений 126
2.6 Решение, пригодное для всех длин волн 128
2.6.1 Предельное решение при к — 0 128
2.6.2 Предельное решения при А; — 1 130
2.6.3 Разложение Стокса и разложение длинных волн
2.7 Дифференциально-разностное уравнение для периодических волн 134
2.8 Высшие приближения теории кноидальных волн
2.8.1 Решение в рядах 139
2.8.2 Первое приближение 141
2.8.3 Второе приближение 142
2.8.4 Приближения высших порядков 146
2.8.5 Компьютерные вычисления 147
2.8.6 Функциональная связь между длинными и короткими волнами 1 2.9 Периодичность вдоль и поперек полосы 152
2.10 Решение периодическое поперек полосы 154
2.11 Специальный случай 156
2.12 Характеристики наивысших волн
2.12.1 Уравнение свободной границы 164
2.12.2 Амплитуда волны 165
2.12.3 Скорость волны 168
2.12.4 Импульс волны 169
2.12.5 Потенциальная энергия 170
2.12.6 Кинетическая энергия 171
2.12.7 Упрощенные формулы 173
2.12.8 Длинноволновая асимптотика 174
2.12.9 Коротковолновая асимптотика 176
2.12.10Волны с самой низкой точкой свободной границы 177
2.12.11 Давление и скорость на дне 179
2.12.12Квазипериодичность 182
Выводы по главе 2 184
Глава 3 Эволюция малых возмущений на свободной поверхности соударяющихся струй 186
3.1 Введение 189
3.2 Стационарное решение 191
3.3 Уравнения нестационарного движения жидкости 196
3.4 Уравнения нестационарного взаимодействия струй 200
3.5 Линеаризация 206
3.6 Первое приближение 209
3.7 Спектральная задача 212
3.8 Разделение переменных 212
3.9 Восьмипараметрическое семейство решений 213
3.10 Сведение задачи к дифференциальному уравнению 217
3.11 Решение в окрестности особых точек 219
3.12 Численное решение 222
3.13 Применимость метода Фурье 228
3.14 Пример нагруженного уравнения 229
3.15 Комплексно-гиперболические уравнения 234
3.16 Наипростейший случай 240
3.17 Переход в плоскость комплексного потенциала 241
3.18 Численное решение 243
3.19 Вспомогательная задача 247
3.20 Временная эволюция возмущений 249
Выводы по главе 3 251
Глава 4 Точные решения в нестационарной задаче со свободной границей 252
4.1 Степенные ряды по времени 254
4.1.1 Эйлеровы координаты 255
4.1.2 Лагранжевы координаты
4.2 Постановка задачи: автомодельные течения 260
4.3 Малые знаменатели 262
4.4 Конформные отображения 263
4.5 Суммирование рядов 267
4.6 Частный случай а = 7г/2 269
4.7 Частный случай а = 7г/4 273
4.8 Частный случай а = 37г/4 276
4.9 Линии нулевого ускорения 278
4.10 Вспомогательное течение 280
4.11 Эволюция полуплоскости
4.11.1 Построение свободной поверхности 283
4.11.2 Проверка динамического условия 284
4.11.3 Проверка кинематического условия 285
4.11.4 Вычисление ускорения 285
4.12 Смена знака вектора скорости 287
4.13 Неавтомодельное течение со свободной границей
4.13.1 Течение с линейным полем скоростей 291
4.13.2 Преобразование Галилея 292
4.13.3 Смена знака вектора скорости 293
4.13.4 Количество решений 294
4.13.5 Форма свободной границы для неавтомодельных течений 4.14 Трещина в жидкости 297
4.15 Размножение решений в задаче со свободной границей 300
Выводы по главе 4 304
Глава 5 Конформные отображения, Паде аппроксиманты и пример течения со значительной деформацией свободной границы 306
5.1 Введение 306
5.2 Нахождение степенных рядов 308
5.3 Непосредственное суммирование степенных рядов 312
5.4 Аппроксиманты Паде 314
5.5 Замена переменных 318
Выводы по главе 5 324
Заключение 325
Список литературы
