Введение
1 Постановка задачи 16
1.1 Постановка трехмерной задачи о равновесии прямолинейного стержня (бруса) 16
1.2 Приближённая постановка задачи для длинного стержня . 19
1.3 Общая задача Сен-Венана 20
1.4 Задача Сен-Венана о кручении стержня 22
1.4.1 Полная система уравнений теории кручения не однородного анизотропного стержня 22
1.5 Функция напряжений при кручении 24
1.5.1 Функция напряжений 24
1.5.2 Постановка задачи для функции напряжений . 24
1.5.3 Крутка и жесткость при кручении. Выражение через функцию напряжений 26
1.5.4 Оценка снизу для жёсткости при кручении 27
1.6 Функция кручения (депланация) 30
1.6.1 Выражение для перемещений при кручении 30
1.6.2 Постановка задачи для функции кручения 32
1.6.3 Крутка и жёсткость при кручении. Выражение через функцию кручения 33
1.6.4 Формула связи между функцией напряжений и функцией кручения и определение перемещений по функции напряжений 33
1.7 Примеры решения известных задач о кручении изотропных стержней 35
1.7.1 Кручение круглого стержня неоднородного по радиусу 35
1.7.2 Кручение бесконечного слоя неоднородного по толщине 38
1.7.3 Кручение однородного стержня прямоугольного сечения 40
2 Осреднение задачи для функции напряжений 43
2.1 Сопутствующая задача 43
2.2 Интегральное представление решения исходной задачи через решение сопутствующей задачи 44
2.2.1 Функция Грина при кручении 44
2.2.2 Интегральная формула 44
2.3 Представление решения в виде ряда по производным от решения сопутствующей задачи 46
2.4 Рекуррентные задачи для коэффициентов ряда 48
2.4.1 Случай неоднородного по толщине анизотропного слоя 48
2.4.2 Случай изотропного и неоднородного по толщине слоя 51
2.4.3 Случай однородного слоя 52
2.5 Обобщенное уравнение для функции напряжений 56
2.5.1 Интегральная формула для решения обобщенного уравнения 56
3 Эффективные характеристики при кручении 58
3.1 Математическое определение эффективных коэффициентов в обобщенной задаче 58
3.1.1 Эффективные коэффициенты, полученные из первой специальной краевой задачи 58
3.1.2 Эффективные коэффициенты, полученные из второй специальной краевой задачи 59
3.1.3 Замечания по поводу двух типов эффективных коэффициентов 60
3.2 Постановка задачи об определении эффективных податливостей 61
3.2.1 Интегральная формула для эффективных податли-востей при кручении 61
3.2.2 Постановка новой краевой задачи для вычисления эффективных податливостей 62
3.2.3 Симметрия и положительная определенность эффективных податливостей 62
3.2.4 Интегральная формула для эффективных модулей сдвига при кручении 63
3.2.5 Постановка новой краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига 64
3.2.6 Симметрия и положительная определенность эффективных модулей сдвига 64
3.2.7 Ещё одна форма краевой задачи для вычисления эффективных модулей сдвига 65
3.3 Случай неоднородного по толщине слоя 68
3.4 Нулевое приближение в теории кручения неоднородных стержней 70
3.4.1 О нулевом приближении в механике композитов . 70
3.4.2 Нулевое приближение при кручении 71
4 Применение метода конечных элементов для расчета N- функций и эффективных податливостей 73
4.1 Описание методики 73
4.2 Случай длинной полосы с тремя чередующимися слоями . 77
4.3 Случай круглого сечения 79
4.4 Случай квадратного сечения с одним квадратным включением 81
4.5 Случай квадратного сечения с одним квадратным включением с периодическими граничными условиями 84
4.6 Случай квадратного сечения с девятью квадратными включениями 86
4.7 Случай квадратного сечения с 25 квадратными включениями 88
4.8 Выводы к четвёртой главе 90
4.8.1 Точность результатов 90
4.8.2 Краевой эффект для ЛГ-функций 90
4.8.3 Взаимная обратность эффективных податливостей . 91
4.8.4 Совпадение эффективных характеристик, вычисленных на ячейке с пулевыми граничными условиями, с характеристиками, вычисленными на ячейке с периодическими граничными условиями 91
4.8.5 Независимость формы включений для вычислений эффективных податливостей 92
Заключение 93
Список литературы. 108
