Введение
Глава 1 Основы математической модели сердечно-сосудистой системы .
1.1 Формальное описание системы кровообращения 27
1.2 Математические модели основных элементов графа сердечнососудистой системы.
1.2.1 Вывод квазиодномерных по пространству уравнений гемодинамики 28
1.2.2 Характеристическая форма уравнений гемодинамики 34
1.2.3 Граничные условия и условия сопряжения 37
1.3 Построение линейных аналогов математических моделей элементов сердечно-сосудистой системы.
1.3.1 Вывод линеаризованных гемодинамических уравнений (ЛТД уравнений) 39
1.3.2 Линейный аналог условий сопряжения и краевых условий. 42
Глава 2 Линейный анализ уравнений гемодинамики на одном ребре и в отдельной вершине графа .
2.1 Решение задачи Коши для двух линейных дифференциальных уравнений гиперболического типа с постоянными коэффициентами.
2.1.1 Постановка задачи 43
2.1.2 Преобразование системы к уравнению второго порядка 44
2.1.3 Каноническая форма записи уравнений 48
2.1.4 Интегральное тождество 49
2.1.5 Построение решения задачи Коши
2.2 Задача Коши для ЛТД уравнений 57
2.3 Смешанная задача для ЛГД уравнений в вершине графа.
2.3.1 Математическая постановка задачи 58
2.3.2 Решение задачи. Коэффициенты отражения и прохождения.
2.3.3 Некоторые общие свойства коэффициентов отражения и прохождения 66
2.3.4 Коэффициенты для вершины фильтрации 68
2.3.5 Коэффициенты для вершины ветвления сосудов 68
2.4 Краевая задача для ЛГД уравнений на одном ребре графа.
2.4.1 Постановка краевой задачи 75
2.4.2 Решение краевой задачи методом продолжений 76
2.4.3 Качественный анализ свойств решения краевой задачи 83
2.4.4 Числовые значения коэффициента усиления в случае граничных условий частного вида 86
2.4.5 Частный случай решения краевой задачи на одном ребре. 88
2.4.6 Разностная задача для амплитуды волн скорости 89
2.5 Решение неоднородных ЛГД уравнений на одном ребре графа. 2.5.1 Частное решение неоднородных ЛГД уравнений 92
2.5.2 Общее решение задачи Коши для неоднородных ЛГД уравнений 93
2.5.3 Постановка и решение вспомогательной задачи 95
2.5.4 Общее решение неоднородных ЛГД уравнений на ограниченном ребре 96
2.5.5 Условие резонанса в решении неоднородных ЛГД уравнений на ограниченном ребре 97
2.6 Влияние трения о стенки на характер решения на одном ребре графа.
2.6.1 Описание метода исследования влияния трения о стенки сосуда на характер течения жидкости в сосуде 101
2.6.2 Постановка задачи Коши для уравнений гемодинамики в безразмерных переменных 102
2.6.3 Приближенное аналитическое решение задачи Коши для линеаризованных уравнений гемодинамики с трением 103
2.6.4 Метод возмущения по параметру при решении уравнений гемодинамики с трением 106 2.6.5 Эволюция пульсовой волны 111
Глава 3 Решение линеаризованных уравнений гемодинамики на графе сосудов .
3.1 Аналитическое решение ЛГД уравнений на конечном промежутке времени для произвольного графа сосудов.
3.1.1 Математическая постановка задачи 129
3.1.2 Построение аналитического решения задачи 130
3.2 Краевая задача на графе из двух ребер.
3.2.1 Постановка краевой задачи 134
3.2.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе из двух ребер 136
3.2.3 Рекуррентные соотношения для волн скорости на графе из двух "равновременных" ребер 143
3.2.4 Постановка и решение разностной задачи для волн скорости на двух "равновременных" ребрах 157
3.2.5 Решение краевой задачи на графе из двух ребер с кратными "характерными" временами 162
3.3 Краевая задача на графе «тройник».
3.3.1 Постановка краевой задачи 166
3.3.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на графе «тройник» 167
3.3.3 Аналитическое решение краевой задачи на графе из трех «равновременных» ребер 175
3.4 Система функциональных уравнений с запаздывающими аргументами 183
3.4.1 Рекуррентное соотношение для системы однородных функциональных уравнений 185
3.4.2 Рекуррентное соотношение для системы неоднородных функциональных уравнений 192
3.5 Решение краевой задачи на произвольном графе.
3.5.1 Постановка краевой задачи 193
3.5.2 Метод продолжений в применении к краевой задаче на произвольном графе 195
3.6 Примеры численного решения краевых задач для уравнений гемодинамики на графе.
3.6.1 Численное решение краевой задачи на графе из двух ребер. 200
3.6.2 Численное решение краевой задачи на графе «тройник». 207
3.6.3 Численное решение краевой задачи на графе из трех сосудов, соединенных последовательно 209
3.6.4 Численное решение краевой задачи на графе из четырех ребер с циклом 211
Глава 4 Математическое моделирование некоторых практических задач .
4.1 Математическое моделирование неспецифического аортоартериита.
4.1.1 Обзор этапов моделирования болезни 213
4.1.2 Расчет стационарного течения в сосудах большого круга кровообращения 214
4.1.3 Коэффициенты прохождения и отражения для сосудов артериальной части кровеносной системы человека 216
4.1.4 Маршруты распространения пульсовой волны 219
4.1.5 Краткое медико-физиологическое описание неспецифического аортоартериита 224
4.1.6 Общие принципы моделирования синдромов неспецифического аортоартериита 227
4.1.7 Моделирование синдрома стенозирования нисходящей грудной аорты (коарктационного синдрома) 228
4.2 Математическое моделирование гемодинамических факторов развития аневризм в артериальных сосудах.
4.2.1 Моделирование стационарного течения в артериальной части церебрального кровообращения 238
4.2.2 Моделирование гемодинамических факторов образования аневризм в сосудах Виллизиева круга 247
4.2.3 Моделирование гемодинамических факторов образования аневризм в сосудах артериальной части большого круга кровообращения 256
Заключение 260
Приложение
