Введение
ГЛАВА 1. Математические модели сплошных сред 30
1.1. Сводка результатов из тензорной алгебры 30
1.1.1. Криволинейные координаты 30
1.1.2. Компоненты вектора и тензора 31
1.2. Некоторые сведения из тензорного анализа 33
1.2.1. Метрический тензор 33
1.2.2. Ковариантное дифференцирование 34
1.2.3. Дифференциальные операторы 35
1.2.4. Интегральные операции 36
1.2.5. Ортогональные координаты 37
1.2.6. Дифференциальные операторы в ортогональных системах 39
1.3. Модели механики сплошной среды 40
1.3.1. Законы сохранения 40
1.3.2. Уравнения гидродинамики несжимаемой жидкости 42
І.З.З.Потенциальная модель несжимаемой жидкости 44
1.3.4. Уравнения механики сплошной среды в криволинейных системах координат 45
1.4. Основные понятия теории разностных схем 47
1.4.1. Дискретизация. Сетка. Шаблон 47
1.4.2. Сеточные функции 52
1.4.3. Аппроксимация и устойчивость 53
ГЛАВА 2. Разностные схемы в прямоугольных системах координат 56
2.1. Разностные операторы векторного и тензорного анализа 57
2.1.1. Разностные операторы
2.1.2. Критерий согласованности разностных операторов 60
2.1.3. Построение операторов Va,Vffl 61
2.1.4. Построение операторов V ,V , 68
2.1.5. Граничные условия 71
2.1.6. Инвариантность операторов 74
2.2. Трехмерные операторы 76
2.3. Квадратурно- аппроксимационный алгоритм построения дифференциально-разностных схем 79
2.3.1. Основание алгоритма 79
2.3.2.Алгоритм построения полностью консервативных схем... 81
2.4. Разностные схемы в переменных Лагранжа 84
2.4.1. Дифференциально - разностная схема 84
2.4.2. Класс разностных схем с полным набором законов сохранения 86
2.5. Численные расчеты течений несжимаемой жидкости 89
2.5.1. Сетка и операторы 89
2.5.2. Разностная схема 91
2.5.3. Аппроксимация вектора внешних массовых сил 92
2.5.4. Устойчивость схемы 94
2.5.5. Реализация граничных условий 95
2.5.6. Линейный анализ разностной схемы 96
2.6. Численные расчеты двумерных течений 97
2.7. Численное моделирование трехмерных течений 106
2.7.1. Разностная схема 106
2.7.2. Граничные условия 108
2.7.3. Комплекс программ ТОРЗ 108
2.8.Термодинамически согласованные разностные схемы 116
ГЛАВА 3. Инвариантные вариационно - разностные схемы и законы сохранения 123
3.1. Инвариантные двумерные дискретные модели 124
3.1.1. Вариация функционала дискретной системы 124
3.1.2. Тождество Нетер 126
3.1.3. Теорема Нетер 128
3.1.4. Обобщение теоремы Нетер 129
3.1.5.Дифференциально-разностные уравнения гидродинамики.. 131
ГЛАВА 4. Метод базисных операторов построения разностных схем в криволинейных системах координат 136
4.1.Разностные операторы в криволинейной ортогональной системе координат. Случай плоской симметрии 138
4.1.1. Дифференциальные операторы 138
4.1.2. Разностные операторы 139
4.1.3. Некоторые соотношения 144
4.1.4. Согласованность разностных операторов 144
4.1.5. Дифференциально-разностная схема гидродинамики 146
4.1.6. Операторы в полярной системе координат 148
4.2. Формулы для базисных операторов 151
4.3. Осесимметричные разностные операторы в ортогональной системе координат 161
4.3.1. Дифференциальные операторы 161
4.3.2. Разностные операторы 162
4.3.3. Дифференциально-разностная схема гидродинамики 167
4.3.4. Операторы в цилиндрической системе координат 167
4.4. Полностью консервативные осесимметричные разностные схемы в криволинейных ортогональных системах координат... 171
4.5. Метод базисных операторов построения операторных разностных схем в трехмерном пространстве 178
4.5.1. Дифференциальные операторы 179
4.5.2. Разностные операторы 180
4.5.3. Согласованность разностных операторов 185
4.5.4. Дифференциально-разностная схема 186
4.5.5. Базисные операторы 186
4.5.6. Операторы в цилиндрической системе координат 191
4.6.Базисные разностные схемы для неортогональных систем 195
4.6.1. Дифференциальные операторы 195
4.6.2. Дискретизация пространства 196
4.6.3. Операторы усреднения
4.6.4. Разностные операторы 200
4.6.5. Согласованность разностных операторов 201
4.6.6. Базисные операторы
4.6.7. Дифференциально-разностная схема гидродинамики 205
4.6.8. Разностная схема 207
4.6.9. Примеры расчета 208
ГЛАВА 5. Базисный разностный метод для ортогональных систем на поверхности 210
5.1. Дифференциальные операторы 210
5.2. Дискретизация пространства 213
5.3. Дискретные операторы 216
5.4. Базисные операторы 218
5.5.Уравнения механики дискретной среды 221
ГЛАВА 6. Численное моделирование осесимметричных потенциальных течений несжимаемой жидкости 224
6.1. Постановка задачи 224
6.2. Дискретизация области и операторов 227
6.3. Разностная схема 229
6.4.Устойчивость схемы 231
6.5. Вычислительная граница 231
6.6. Модельная задача 233
6.7. Заполнение полости 235
6.8. Заполнение криволинейной полости 239
6.9. Эволюция пузыря 243
6.10. Заполнение шахты 246
ГЛАВА 7. Преобразования разностных схем 249
7.1. Введение 249
7.2. Преобразования дискретных операторов 254
7.3. Дискретные операторы векторного анализа 257
7.4. Сохранение симметрии 259
7.5. Дискретная схема газовой динамики 262
7.6. Законы сохранения дискретной схемы 264
7.7. Задача о двух поршнях 265
7.8. Заключение 272
Приложение 274
Исследование трехмерных нелинейных течений несжимаемой жидкости со свободной поверхностью в полостях/ краткое описание комплекса программ ТОРЗ/ 274
Литература
