Введение
ГЛАВА 1. Методы и средства организации высокоточных арифметических вычислений 13
1.1. Современные области применения высокоточных вычислений 14
1.1.1. Моделирование климата 18
1.1.2. Исследование орбитальной эволюции небесных тел 19
1.1.3. Экспериментальная математика 20
1.1.4. Изучение постоянной тонкой структуры (постоянной Зоммерфельда)... 21
1.1.5. Исследование электромагнитного рассеяния 21
1.1.6. Изучение n-тельных кулоновских атомных систем 22
1.1.7. Моделирование атмосферы сверхновых звезд 23
1.2. Методы и средства высокоточных вычислений 24
1.2.1. Арифметика длинных позиционных чисел 26
1.2.2. Интервальные вычисления 30
1.2.3. Символьные вычисления 31
1.2.4. Постбинарные вычисления 32
1.2.5. Модулярная арифметика 33
1.3. Исследование быстродействия современных программных средств высокоточных вычислений 36
1.4. Применение модулярной арифметики для решения задач целочисленной многоразрядной обработки 37
1.5. Выводы по главе 39
ГЛАВА 2. Быстродействующие методы и алгоритмы выполнения немодульных операций в системах остаточных классов 41
2.1. Основные принципы модулярной обработки чисел 42
2.2. Проблема выполнения немодульных операций 44
2.2.1. Способы интерпретации позиционного значения модулярного кода 46
2.2.2. Приближенное CRT-декодирование 47
2.3. Метод интервально-позиционных характеристик
2.3.1. Формализация оценки величинві модулярного представления в терминах интервалвнвгх ввічислений 52
2.3.2. Достаточнвіе признаки корректности немодулвнвгх операций 55
2.3.3. Арифметика интервалвно-позиционнвгх характеристик 59
2.3.4. Основнвіе алгоритмві выполнения немодулвнвіх операций 60
2.3.5. Оценка сложности алгоритмов 65
2.3.6. Результаты экспериментов 70
2.4. Высокоточное вычисление интервально-позиционной характеристики 72
2.4.1. Задача минимизации погрешности вычисления ИПХ 72
2.4.2. Алгоритм ISaC 73
2.4.3. Результаты экспериментов 84
2.5. Быстрое масштабирование чисел в СОК степенью двойки 86
2.5.1. Постановка задачи. Метод половинного деления 86
2.5.2. Метод модулярного масштабирования с увеличенным шагом 88
2.5.3. Результаты экспериментов 94
2.6. Выводы по главе 95
ГЛАВА 3. Применение модулярной арифметики для организации высокоточных вычислений 98
3.1. Арифметика с плавающей точкой стандарта IEEE-754 99
3.2. Модулярно-позиционный формат с плавающей точкой для представления чисел большой разрядности 102
3.3. Оценка погрешностей модулярно-позиционных вычислений 109
3.3.1. Расстояние, машинный эпсилон, функция шага, ошибки округления 109
3.3.2. Алгоритм генерации набора модулей для обеспечения заданной точности модулярно-позиционных вычислений 112
3.4. Алгоритмы высокоточной арифметики в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой 114
3.4.1. Округление 114
3.4.2. Выравнивание порядков 119
3.4.3. Сложение, вычитание и сравнение 122
3.4.4. Умножение 128
3.4.5. Деление 130
3.5. Экспериментальное исследование быстродействия алгоритмов 132
3.6. Рекомендации по применению разработанных алгоритмов 136
3.7. Выводы по главе 137
ГЛАВА 4. Программная библиотека высокоточной арифметики в модулярно-позиционном формате с плавающей точкой 139
4.1. Типы данных и API 139
4.2. Структурная организация 141
4.3. Результаты экспериментальной апробации 144
4.4. Области практического применения разработанных программных решений 148
4.5. Выводы по главе 150
Заключение 151
Список сокращений и условных обозначений 153
Список терминов 158
Список литературы
