Введение
1 Бифуркации собственных значений 36
1.1 Возмущение простого собственного значения 36
1.2 Бифуркация кратного собственного значения с одной цепочкой Жордана 40
1.3 Сильное взаимодействие собственных значений
1.3.1 Вещественное собственное значение Ао 49
1.3.2 Комплексное собственное значение До
1.4 Бифуркация полупростого собственного значения 56
1.5 Слабое взаимодействие собственных значений
1.5.1 Вещественное собственное значение А0 60
1.5.2 Комплексное собственное значение А0
1.6 Факторизация семейства характеристических полиномов 70
1.7 Метод теории версальных деформаций 73
1.8 Вычисление кратных собственных значений и цепочек Жордана
1.8.1 Линеаризация функций версальной деформации 82
1.8.2 Метод Ньютона 86 Оглавление З
1.8.3 Примеры 89
1.8.4 Связь с производными собственных значений 92
2 Особенности границ областей устойчивости автономных систем 94
2.1 Линейные системы общего вида, зависящие от параметров 95
2.2 Регулярная часть границы области устойчивости 97
2.3 Особенности коразмерности 2 99
2.4 Особенности коразмерности 3 102
2.5 Особенность "тупик на ребре" в парадоксе Циглера 108
2.6 Особенности высокой коразмерности 112
3 Границы областей устойчивости консервативных систем 118
3.1 Колебательные механические системы с потенциальными силами 119
3.1.1 Чувствительность простых и кратных частот колебаний 120
3.1.2 Область устойчивости и ее граница 122
3.1.3 Особенности границы области устойчивости
3.2 Особенность бимодальной критической силы потери устойчивости 130
3.3 Бимодальные бифуркации положений равновесия в потенциальных системах
3.3.1 Системы с двумя симметриями 136
3.3.2 Перестройки бимодальных бифуркаций 139
3.3.3 Бимодальная бифуркация составного упругого стержня 142
3.4 Линейные гамильтоновы системы 145
3.4.1 Бифуркации собственных значений гамильтоновой матрицы 148
3.4.2 Версальные деформации гамильтоновых матриц 154
3.4.3 Область устойчивости и ее граница 158
3.4.4 Особенности границы области устойчивости 160
3.4.5 Анализ особых точек на границе области устойчивости: углы и конусы 164
3.4.6 Анализ особых точек на границе области устойчивости: точки возврата и трехгранные шпили 168
3.5 Механические примеры 175
3.5.1 Упругая шарпирно опертая труба, проводящая жидкость
3.5.2 Гироскопическая стабилизация статически неустойчивой вращающейся системы 178
Многопараметрическая теория параметрического резонанса 186
4.1 Бифуркации мультипликаторов 187
4.1.1 Анализ чувствительности простых мультипликаторов 189
4.1.2 Двукратный мультипликатор с одним собственным вектором 190
4.1.3 Трехкратный мультипликатор с одним собственным вектором 191
4.1.4 Полупростой двукратный мультипликатор 193
4.2 Граница области устойчивости периодической системы 193
4.2.1 Особенности границы области устойчивости 196
4.2.2 Количественный анализ особенностей
4.3 Устойчивость составной трубы, проводящей пульсирующую жидкость 209
4.4 Параметрический резонанс в колебательных системах с демпфировапием2 4.4.1 Поведение простых мультипликаторов 217
4.4.2 Локальная аппроксимация области устойчивости 219
4.4.3 Параметрическое возбуждение с симметрической матрицей 222
4.4.4 Матрица параметрического возбуждения вида В(Ш) = р(Ш)В0 225
4.4.5 Влияние диссипации на области резонанса 226
4.5 Неконсервативные системы при малом параметрическом возбуждении 230
4.5.1 Аппроксимация области устойчивости в регулярном случае 233
4.5.2 Анализ области устойчивости в резонансном случае 236
Параметрический резонанс в механических системах 245
5.1 Балка под действием периодических моментов (задача В.В. Болотина) 245
5.2 Стержень переменного сечения, нагруженный периодической продольной силой 248
5.3 Оптимизация стержня по критерию параметрического резонанса
5.3.1 Задача оптимизации 253
5.3.2 Метод оптимизации 254
5.3.3 Оптимальные формы стержня 2 5.4 Эксперименты 263
5.5 Устойчивость трубы, проводящей пульсирующую жидкость 267
5.5.1 Метод Галеркина 268
Оглавление 5
5.5.2 Поток с постоянной скоростью 269
5.5.3 Граница области устойчивости в регулярном случае 270
5.5.4 Резонансный режим пульсаций 271
5.5.5 Диаграммы устойчивости на плоскости амплитуда - частота 273
