Введение
1 Основные понятия и определения 22
1.1 Предварительное описание систем управления и их функционирования. Связь возвращаемости и управляемости 22
1.2 Общая схема исследования управляемости 24
2 Управление линейными по состояниям системами 27
2.1 Специфика линейных по состоянию систем 27
2.2 Линейные по состоянию системы управления с конечным множеством базовых управлений (полисистемы) 29
2.3 Линейные по состоянию системы управления с непрерывным пространством базовых управлений 37
2.3.1 Предположение А о сводимости системы с непрерывным пространством базовых управлений к полисистеме с дискретным пространством базовых управлений 38
2.3.2 Матричные семейства общего положения 39
2.3.3 Приведение матричных семейств в общее положение 40
2.3.4 Спектральные типы матричных семейств 44
2.3.5 Справедливость предположения А1 для системы с тривиальным спектральным типом 49
2.3.6 Управляемость систем с тривиальным спектральным типом 50
2.3.7 Ослабленное предположение А для систем с нетривиальным спектральным типом 52
2.3.8 Представление системы с нетривиальным спектральным типом. Иерархия подсистем 53
2.3.9 Иерархия проективных компонент 58
2.3.10 Условия зацепляемости компонент проективного разложения 60
2.3.11 Проективная управляемость систем с нетривиальным спектральным типом 63
4 Пара управляющих встречных последовательностей многообразий 65
5 Пара встречных последовательностей многообразий для проекции линейной системы с тривиальным спектральным типом 68
6 Системы второго порядка 70
2.6.1 Условия управляемости билинейных систем, выраженные через коэффициенты матриц 70
2.6.2 Соотношение свойства зацепляемости и вида зависимости матричного семейства от управляющего параметра 73
7 Условия локальной управляемости критических элементов и условия зацепляемости 79
2.7.1 Условия локальной управляемости 79
2.7.2 Условия локальной управляемости точек покоя 80
2.7.3 Условия локальной управляемости предельных циклов для систем третьего порядка 83
2.7.4 Условия зацепляемости для систем третьего порядка . 84
» 2.8 Примеры линейных по состоянию систем 86
2.8.1 Системы второго порядка 86
2.8.2 Системы третьего порядка 92
2.8.3 Системы с комплексными коэффициентами 97
2.9 Примеры маятниковых колебательных систем 99
2.10 Линейные по состоянию дискретные динамические системы управления 101
2.11 Линеаризации системы управления 103
2.11.1 Управление системой в окрестности ее точки покоя . 103
2.11.2 Управление системой в окрестности ее предельного цикла 104
2.11.3 Системы Морса-Смейла 106
2.11.4 Управление системой в окрестности ее инвариантного множества 108
2.12 Заключительные замечания об условиях управляемости для
линейных и нелинейных систем. 109
2.12.1 Сравнение линейных и нелинейных систем с регулярным поведением 109
2.12.2 Характер поведения траекторий регулярных и хаотических систем 112
2.12.3 Программная реализация проверки управляемости линейных по состоянию систем 115
3 Управление хаотическими системами 116
3.1 Вводные замечания 116
3.2 Определение динамической системы управления и некоторых связанных с ней понятий 120
3.2.1 Основные отображения, локальные семейства отобра жений и порожденные ими системы управления 121
3.2.2 Управляемость системы и время управления 122
Свойства динамической системы, порожденной базовым отображением 124
3.3.1 Топологические свойства основных отображений 124
3.3.2 Системы, задаваемые гладкими обратимыми основными отображениями (гиперболическими и нейтральными) 126
3.3.3 Свойства основных отображений (диффеоморфизмов), выраженные в терминах инвариантных мер 130
3.3.4 Оценки для скорости сходимости в законе больших чисел 139
3.3.5 Оценки для времени переходного процесса, равномерные относительно начального состояния 141
Свойства локальной системы управления 142
3.4.1 Условия полной равномерной локальной управляемости во всем пространстве состояний 145
3.4.2 Условия частичной локальной управляемости для гиперболических систем 146
3.4.3 Вычисление матрицы локальной управляемости 149
Оценки времени управления для систем равномерно гиперболического типа 150
3.5.1 Оценки сверху времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими отображениями 151
3.5.2 Оценки снизу времени управления для динамических систем управления, порожденных гиперболическими отображениями 159
3.5.3 Пример динамической системы управления, порожденной линейным гиперболическим отображением 162
3.6 Оценки времени управления для гиперболических систем, использующие средние характеристики 166
3.6.1 Средний коэффициент растяжения 168
3.6.2 Оценки времени управления для случая частичной локальной управляемости во всем пространстве состояний 168
3.6.3 Сравнение оценок времени управления, использующих равномерный коэффициент растяжения и коэффициент растяжения в среднем 175
3.7 О выборе параметров в оценках для времени управления 177 3.7.1 Выбор оптимального значения параметра 5\ 177
3.8 Оценивание времени переходных процессов с помощью статистических методов 182
3.9 Асимптотичекие оценки сверху времени управления 183
3.9.1 Оценки сверху для среднего времени управления, ис
пользующие распределения коэффициентов управляе
мости вдоль неустойчивых направлений 185
3.10 Оценки времени управления для систем нейтрального типа 189
3.10.1 Свойства множеств локальной достижимости 189
3.10.2 Оценка сверху времени управления для систем нейтрального типа 192
3.10.3 Оценка снизу времени управления для систем нейтрального типа , 195
3.10.4 Пример динамической системы управления, порожденной аффинным отображением нейтрального типа 197
3.11 Оценки времени управления для слабо хаотических систем, имеющих накрывающие системы 200
3.11.1 Пример семейства вырождающихся систем управления на двумерном торе 203
3.11.2 Некоторые случаи управления хаосом 210
3.11.3 Возмущение вырожденного семейства отображений посредством двупараметрического семейства отображений 211
3.11.4 Определение слабо хаотической системы управления 212
3.11.5 Условия локальной управляемости слабо хаотических систем управления 215
3.11.6 Оценки сверху времени управления 216
3.12 Распределение ресурсов при управлении слабо хаотическими системами 217
3.12.1 Описание возмущенных систем управления 217
3.12.2 Сравнение оценок времени управления для возмущенных систем гиперболического и нейтрального типов. 225
3.13 Оценки времени управления для нестационарных систем, по рожденных квазилинейными гиперболическими отображени ями 231
3.13.1 Хаотические системы на торе, порожденные линейны ми нестационарными отображениями 232
3.13.2 Описание одного класса нестационарных систем управ ления 235
3.13.3 Характеризация хаоса с помощью коэффициентов раз-бегания траекторий 240
3.13.4 Оценки сверху времени управления с помощью коэффициентов разбегания траекторий 242
3.13.5 Характеризация хаоса как степени роста объемов в неустойчивом направлении 247
3.13.6 Оценки сверху времени управления на основе скорости роста объемов 249
3.13.7 Оценки снизу времени управления для нестационарных систем управления 254
3.13.8 Оценки времени управления для случая, когда эллипсоид локальной управляемости не находится в общем положении 259
3.14 Заключительные замечания 261
4 Методы символической динамики и локального управления 266
4.1 Вводные замечания 266
4.2 Символический образ динамической системы 267
4.3 Построение управлений 269
4.4 Применение методов символической динамики для исследования конкретных систем 275
4.4.1 Исследование двумерной линейной по состоянию системы 275
4.4.2 Проверка условий зацепляемости 277
4.4.3 Применение методов символической динамики к построению символических образов хаотических систем. 279
4.5 Заключительные замечания 284
Заключение 286
Результаты, выносимые на защиту 288
Список литературы
