Введение
1 Условия слабой зависимости в моделях наблюдений 23
1.1. Понятие слабой зависимости 23
1.2. Условия сильного перемешивания функции от стационарных процессов 26
1.3. Перемешивание для динамических моделей 30
1.4. Свойства выборки с перекрытием 41
1.5. Выводы 43
2 Непараметрическое оценивание некоторых функционалов от распределения по слабозависимой выборке 45
2.1. История вопроса 45
2.2. Среднеквадратическая сходимость непараметрических оценок плотностей 48
2.2.1. Смещение 51
2.2.2. Дисперсия 53
2.3. Среднеквадратическая сходимость непараметрической оценки градиента плотности 57
2.3.1. Критерий 57
2.3.2. Смещение 59
2.3.3. Дисперсия 61
2.4. Непараметрическое оценивание логарифмической производной плотности 63
2.4.1. Предварительные замечания 63
2.4.2. Ядерные оценки плотности распределения и ее производной для независимой случайной выборки 65
2.4.3. Свойства ядерной оценки плотности для с.п. последовательностей 71
2.4.4. Свойства ядерной оценки производной плотности для с.п. последовательностей 73
2.4.5. Сходимость четвертых моментов ядерной оценки плотности и ее производной для с.п. последовательностей 74
2.4.6. Свойства ядерной оценки логарифмической производной плотности распределения для с.п. последовательностей 75
2.5. Непараметрическое оценивание логарифмического градиента плотности 79
2.6. Выводы 87
Непараметрические методы нелинейной фильтрации 89
3.1. Общие проблемы обработки сигналов 89
3.2. Постановка задачи фильтрации 91
3.2.1. Критерий 91
3.2.2. Приближенные методы решения 94
3.2.3. Эмпирический байесовский подход 95
3.2.4. Асимптотически оптимальные процедуры . 96
3.3. Условия асимптотической оптимальности оценок . 97
3.3.1. Необходимое и достаточное условие асимптотической оптимальности 98
3.3.2. Достаточное условие асимптотической оптимальности 100
3.4. Статические модели наблюдений 103
3.4.1. Функция потерь 104
3.5. Формула преобразования апостериорных вероятностей 112
3.6. Уравнение оптимальной фильтрации для статических моделей 114
3.7. Непараметрический вариант уравнения оптимальной фильтрации для статических моделей 119
3.8. Динамические модели наблюдений 122
3.8.1. Условно-экспонентное семейство 122
3.8.2. Функция потерь 125
3.9. Уравнение оптимальной фильтрации для динамических моделей 128
3.10. Фильтрация некоторых функций от полезного сигнала 139
3.11. Асимптотически є -оптимальная процедура фильтрации 148
3.11.1. Оценка плотности по одной реализации процесса. 148
3.11.2. Критерий выбора длины зоны зависимости 149
3.11.3. Фильтр Калмана и асимптотически -оптимальная оценка 153
3.11.4. Выбор длины зоны зависимости при конечном п 156
3.11.5. Длина зоны зависимости при неизвестной оптимальной процедуре 163
3.12. Выводы 166
4 Непараметрические методы интерполяции 168
4.1. Уравнение оптимальной нелинейной интерполяции 168
4.2. Непараметрический аналог интерполяционного уравнения 175
4.3. Выводы 179
5 Непараметрические методы прогноза 181
5.1. Прогноз наблюдаемой стационарной последовательности 181
5.2. Прогноз ненаблюдаемой компоненты частично наблюдаемой марковской последовательности 184
5.3. Примеры задач прогноза 190
5.4. Выводы 196
6 Риск в задачах обработки сигналов и его непараметрическое оценивание 197
6.1. Постановка задачи 197
6.2. Формула эмпирического риска для задачи фильтрации 198
6.3. Эмпирический риск в задачах интерполяции 203
6.4. Оценка риска в задачах прогноза 205
6.5. Сходимость эмпирических оценок рисков 208
6.6. Примеры непараметрических оценок рисков 211
6.7. Одновременный выбор длины реализации и степени зависимости наблюдаемого процесса 214
6.8. Выводы 219
7 Непараметрические методы выделения скачкообразных марковских процессов 221
7.1. Модель наблюдений и условие слабой зависимости 221
7.2. Непараметрическая фильтрация конечнозначных марковских цепей 222
7.3. Непараметрическая интерполяция конечнозначных марковских цепей 228
7.4. Оценивание моментов изменения свойств случайных процессов 233
7.5. Выводы 238
Заключение 239
