Введение
1 Аппроксимационные свойства конечномерных функциональных под пространств и двусторонние оценки собственных значений 16
1.1 Свойства конечномерных подпространств 16
1.1.1 Некоторые обозначения 16
1.1.2 Оценка аппроксимации
1.1.3 Примеры пространств, удовлетворяющих оценке
1.2 Двусторонние оценки собственных значений 23
1.2.1 Постановка задачи 23
1.2.2 Первое собственное значение 23
1.2.3 Остальные собственные значения 25
1.2.4 Задача «с весом» 26
1.2.5 Примеры 27
1.2.6 Квадрат 27
1.2.7 Треугольники 28
1.2.8 Отрезок с непостоянным р 29
2 Численное исследование спектральных свойств волноведущих систем 30
2.1 Ловушечные моды локально нерегулярных волноводов 30
2.1.1 Плоский случай 32
2.1.2 Трёхмерный случай 34
2.2 Временная асимптотика поля в регулярном волноводе 40
3 Оценки погрешности приближённого решения эллиптического уравнения с некоэрцитивной билинейной формой 41
3.1 Постановка и дискретизация задачи 41
3.2 Алгоритм вычисления приближённого решения и оценки погрешности . 43
3.3 Обоснование алгоритма 45
3.3.1 Проектор Рс 45
3.3.2 Операторы Л и [/ - Л]^1 45
3.3.3 Леммы 46
3.3.4 Основные теоремы 48
3.4 Оценка погрешности в случае уравнения Гельмгольца 55
3.4.1 Основная идея 55
3.4.2 Вывод модифицированных оценок 58
3.4.3 Алгоритм вычисления приближённого решения и модифицированных оценок погрешности для уравнения Гельмгольца 61
3.4.4 Тестовые расчёты 63
4 Суперсходимость проекционных методов для одномерной задачи Ди рихле 65
4.1 О понятии суперсходимости 65
4.2 Рассматриваемая дифференциальная задача 66
4.3 Основной результат главы 67
4.4 Некоторые замечания о применении полученных результатов 71
4.5 Численные примеры 72
4.5.1 Уравнение Гельмгольца 72
4.5.2 Уравнение с членом первого порядка и разрывным коэффициентом 75
Доказательство теоремы 1.2 77
Заключение 84
Литература 85
