Введение
1 Преобразование Дарбу одномерного стационарного уравнения Дирака 12
1.1 Оператор преобразования Дарбу 12
1.2 Условие самосопряженности преобразованного потенциала . 16
1.3 Взаимно-однозначное соответствие между пространствами решений 22
1.4 Факторизация полиномов дираковского гамильтониана . 26
1.5 Оператор преобразования Дарбу как оператор в гильбертовом пространстве 29
1.6 Скрытая квадратичная суперсимметрия уравнения Дирака . 35
2 Преобразование Дарбу для потенциалов частного вида 37
2.1 Псевдоскалярный потенциал 38
2.1.1 Преобразование Дарбу для псевдоскалярного потенциала 38
2.1.2 Соотношения между преобразованиями Дарбу уравнений Дирака и Шредингера 41
2.2 Скалярный потенциал 44
2.2.1 Преобразование Дарбу для скалярного потенциала . 44
2.2.2 Связь с преобразованиями Дарбу уравнения Шредин-гера 47
2.3 Примеры 48
2.3.1 Прозрачные потенциалы 48
2.3.2 Дираковский осциллятор 55
2.3.3 Скалярный кулоновский потенциал 57
2.4 Периодические потенциалы 60
2.4.1 Зонная структура релятивистского периодического потенциала 61
2.4.2 Построение периодического скалярного потенциала . 63
2.4.3 Периодический псевдоскалярный потенциал 66
Цепочки преобразований Дарбу 69
3.1 Обобщение формул Крума-Крейна 70
3.1.1 Оператор преобразования n-го порядка 71
3.1.2 Преобразованный потенциал 75
3.2 Другие формы записи результирующего действия цепочки преобразований 79
3.2.1 Замена операции дифференцирования умножением на собственное значение 80
3.2.2 Понижение порядка определителей 86
3.3 Полиномиальная супералгебра, связанная с цепочками преобразований 92
3.4 Цепочки преобразований Дарбу матричного уравнения Шре-дингера 94
3.4.1 Основная лемма 99
3.4.2 Преобразование векторов 102
3.4.3 Преобразование потенциала 106
Заключение 109
Литература 112
