Введение
1. Введение 5
1.1. Топологические квантовые модели их физические приложения 5
1.1.1. Теория адиабатических преобразований 6
1.1.2. Метод аналитического продолжения 7
1.1.3. Тождества Уорда топологической квантовой теории поля 9
1.2. Полином узла как среднее в модели Кауффмана 9
1.2.1. Узлы и полиномы узлов 10
1.2.2. Модель Кауффмана 12
1.2.3. Операторные тождества 13
1.2.4. Вычисление полинома Джонса для узла-трилистника с помощью конструкции Кауфмана 13
1.3. К квантово-полевому представлению инвариантов узлов 21
1.3.1. Инварианты узлов как наблюдаемые в теории Весса — Зумино — Виттена
— Новикова и как аксиоматически определенные вильсоновские средние 21
1.3.2. Конформные блоки Весса — Зумино — Виттена — Новикова и классические поля в теории Черна — Саймонса 24
1.3.3. Полином ХОМФЛИ как пертурбативное вильсоновское среднее в лагранже вой теории Черна — Саймонса: постановка задачи 24
1.3.4. Вильсоновские средние в теории Черна — Саймонса 25
1.3.5. Гауссово число зацеплений как вклад второго порядка в вильсоновское среднее в абелевой теории Черна — Саймонса 26
1.3.6. Инварианты узлов как инварианты зацеплений: оснащение с точки зрения теории Черна — Саймонса 27
1.3.7. Интеграл Концевича как ряд теории возмущений для черн — саймонсовского вильсоновского среднего в голоморфной калибровке 27
1.4. Постановка задачи 29
1.4.1. Цель работы 29
1.4.2. Исходное положение дел 30
1.4.3. Проблемы 31
1.4.4. Основное содержание проделанной работы
1.5. Основные результаты 32
1.6. Основные публикации 33
2. Представление полинома узла в терминах 7-матриц 33
2.1. Полином узла как взвешенный след элемента группы кос 33
2.1.1. Двупрядные косы 36
2.1.2. Трехпрядные косы 37
2.2. Использование 7-матриц в качестве операторов перекрестков в модели Кауффмана 39
2.2.1. Понятие квантовой 7-матрицы 39
2.2.2. Свертка 7-матриц как инвариант разрезанной диаграммы узла
2.3. Вставка оборотных операторов в качестве процедуры усреднения 42
2.4. Процедура оснащения в 7-матричном формализме 43
2.5. Циклы на диаграмме узла и оборотные операторы 44
2.6. Явное вычисление полинома ХОМФЛИ для узла-трилистника 45
2.6.1. Зеркальная симметрия 46
2.7. Сведение 7-матричного представления к представлению через группу кос и разло
жение полиномов ХОМФЛИ по характерам 46
2.7.1. Оборотные операторы и нулевое движение Рейдемейстера 47
2.7.2. От свертки R-матриц к разложению полинома ХОМФЛИ по характерам: двупрядные косы 47
2.7.3. От свертки R-матриц к разложению полинома ХОМФЛИ по характерам: двупрядные косы 49
2.7.4. Теоретико-групповой смысл общих собственных подпространств операторов пересечений и замыкания 51
3. Полином ХОМФЛИ как суммапопутямнаграфе Юнга 52
3.1. Пример вычисления раскрашенного полинома ХОМФЛИ с помощью R-матриц, связанных с генераторами группы кос 52
3.2. Задача о явном вычислении элементов R-матриц
3.2.1. Выражения для R-матриц через перебрасывающие матрицы 55
3.2.2. Элементы перебрасывающих матриц как коэффициенты Рака 56
3.2.3. Размеры элементарных блоков в перебрасывающих матрицах 57
3.2.4. Явная формула для элементов перебрасывающих матриц 58
3.3. Задача о коэффициентах Рака для квантовой группы Uq(sl3) 60
3.3.1. Сводка необходимых фактов о группе SU(N), алгебре suN и их представлениях 60
3.3.2. Явное вычисление коэффициентов Рака для группы SU(3) в частном случае 69
3.3.3. Обобщение решения классической задачи о коэффициентах Рака на случай квантовой группы 74
3.4. Явное вычисление (нераскрашенных) полиномов ХОМФЛИ с помощью диагональных R-матриц и коэффициентов Рака 75
3.4.1. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для двупрядных кос 75
3.4.2. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для трехпрядных кос 76
3.4.3. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для четырехпрядных кос 76
3.4.4. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для пятипрядных кос 76
3.4.5. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для шестипрядных кос 78
3.4.6. Расширенные полиномы ХОМФЛИ для семипрядных кос 79
3.5. Полином ХОМФЛИ как сумма по путям на графе Юнга 79
3.5.1. Сумма по путям для двупрядных кос 80
3.5.2. Сумма по путям для трехпрядных кос 80
3.5.3. Сумма по путям для четырехпрядных кос 80
3.5.4. Общий алгоритм вычисления коэффициентов разложения полиномов ХОМ-ФЛИ по характерам как кратной суммы по путям на графе Юнга 82
4. Процедура каблирования для полиномов ХОМФЛИ 84
4.1. Каблирование тривиального узла и выражения для проекторов на симметрическое и антисимметрическое представления 84
4.1.1. Проблема высших кабелей 85
4.1.2. Процедура каблирования и теорема о факторизации раскрашенного полинома ХОМФЛИ в двойном скейлинговом пределе 86
4.2. Раскрашенный полином ХОМФЛИ как сумма по путям на подграфе Юнга 87
4.2.1. Простейший раскрашенный полином ХОМФЛИ узла-трилистника 87
4.2.2. Описание проекции в терминах путей на графе Юнга 89
4.3. Процедура каблирования как операция копроизведения 90
4.3.1. Вычисление параметров смешивающих блоков с помощью процедуры каб-лирования 91
4.3.2. Обобщение формулы суммы по путям на случай представлений типа крюков и формулы для раскрашенных полиномов Александера 92 4.4. Проекторы не неприводимые представления как полиномы от R-матриц 4.4.1. Вывод 7-матричных выражений для проекторов с помощью матриц проекторов в специальном базисе 94
4.4.2. Вычисление проекторов с помощью характеристических уравнений 98
4.5. Примеры вычисления раскрашенных полиномов ХОМФЛИ методом каблирования 99
4.5.1. Вычисление полираскрашенного полином ХОМФЛИ для зацепления кольца Борромео методом каблирования 100
4.5.2. Раскрашенные полиномы ХОМФЛИ четырехпрядных узлов в первом симметрическом представлении 100
4.5.3. Раскрашенные полиномы ХОМФЛИ трехпрядных узлов в первом несимметрическом представлении
4.6. Оснащение в процедуре каблирования 101
4.7. Раскрашенные двупрядные косы и проблема знаков и кратностей собственных значений 7г-матриц
4.7.1. Двупрядные зацепления 103
4.7.2. Двупрядные узлы 104
5. Приложение 7-матричного формализма к эмпирическому исследованию полиномов Хованова — Рожанского 104
5.1.1. Простейшие примеры 106
5.2. Результаты 107
5.2.1. Эмпирический алгоритм вычисления полинома Хованова — Рожанского 107
5.2.2. Нетривиальный пример: зацепление 6f( 2) 1 6. Заключение 110
7. Благодарности 111
