Введение
1 Интегральные функционалы и диффузионные процессы 13
1.1 Нелинейные задачи стохастической динамики 13
1.2 Нелинейные стохастические дифференциальные системы
1.2.1 Случайные процессы 16
1.2.2 Стохастические дифференциальные уравнения 19
1.2.3 Существенная нелинейность в стохастических дифференциальных системах 25
1.2.4 Классы кусочно-линейных стохастических систем 26
1.3 Интегральные функционалы, заданные на траекториях диффузионных про цессов 33
1.3.1 Понятие интегрального функционала 33
1.3.2 Существенно нелинейные интегральные функционалы 34
1.3.3 Метод расширения фазового пространства. Редукция к СДУ 37
1.4 Некоторые специальные стохастические системы 38
2 Аналитические методы анализа нелинейных функционалов от траекторий диффузионных процессов 40
2.1 Прямое уравнение Колмогорова 40
2.1.1 Теория систем, включающих гладкие нелинейности 40
2.1.2 Теория систем с негладкими нелинейностями. Условия сопряжения
2.2 Обратное уравнение Колмогорова и уравнении Фейнмана-Каца 46
2.3 Некоторые точные решения
2.3.1 Обобщённые гамильтоновы системы 49
2.3.2 Случай кусочно-линейных систем
2.4 Некоторые приближённые методы 53
2.5 Уравнение B.C. Пугачёва 55
3 Стохастическая динамика существенно нелинейных систем и уравнение B.C. Пугачёва 56
3.1 Вывод уравнения Пугачёва з
3.1.1 Прямой вывод 58
3.1.2 Ввшод с помощвю формулы Ито 61
3.1.3 Уравнение Пугачёва для случая систем с локальным временем
3.2 Аналитические свойства характеристической функции 66
3.3 Приближённые методы решения и фильтрация по Пугачёву
3.3.1 Приближённые методы 72
3.3.2 Оптимальная фильтрация по Пугачёву 78
3.4 Уравнение Пугачёва-Свешникова 79
3.4.1 Случай полислоёв 80
3.4.2 Случай четверть-пространств 82
4 Аналитические методы решения уравнения Пугачёва—Свешникова 86
4.1 Общая идея 86
4.2 Краевая задача Римана
4.2.1 Случай полуплоскостей 87
4.2.2 Случай биполуплоскостей 89
4.3 Основное уравнение в случае полупространств 92
4.3.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к краевой задаче Римана для полуплоскостей 92
4.3.2 Сведение задачи Римана к основному уравнению 95
4.4 Основное уравнение в случае полислоёв 97
4.4.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к специальной краевой задаче Римана 97
4.4.2 Сведение задачи Римана к основному уравнению 98
4.5 Основное уравнение в случае четвертей пространства 100
4.5.1 Сведение уравнения Пугачёва-Свешникова к задаче Римана для биполуплоскостей 100
4.5.2 Сведение задачи Римана к основному уравнению 103
5 Классы аналитически разрешимых задач 105
5.1 Кусочно линейные системы. Случай полупространств 105
5.1.1 Задача Кренделла о перемещениях незакреплённого тела на подвижном основании при ограниченной длительности случайного воздействия 105
5.1.2 Нахождение точных выражений для моментов с помощью уравнения Пугачёва-Свешникова 109
5.1.3 Точное выражение для изображения характеристической функции пройденного пути 114
5.2 Кусочно-линейные системы. Случай четверть-пространств 117
5.2.1 Вспомогательные факты для функциональных уравнений 117
5.2.2 Фрикционное торможение незакреплённого тела при наличии управляемого демпфера сухого трения 119
5.2.3 Задача об управляемом фрикционном торможении при наличии сухого трения. Сведение к интегралвному уравнению 127
5.3 Кусочно линейные системы. Случай полислоёв 134
5.3.1 Фрикционное торможение при наличии управляемого демпфера сухого трения. Другой метод решения 134
5.3.2 Время пребвтания процесса Кохи-Динза на отрезке 137
5.4 Системы, включающие локалвное время 144
5.4.1 Локалвное время процесса Кохи-Динза 144
5.4.2 Задача Бакстера для скошенного броуновского движения со сносом 148
Заключение 161
Список литературы
