Введение
1 Прямые задачи 27
1.1 Введение. Постановка прямых и обратных задач 27
1.2 Начально-краевая задача для уравнения акустики 32
1.3 Задача Копій для уравнения колебаний 34
1.4 Численные методы решения прямой задачи 35
1.4.1 Конечно-разностные методы 35
1.4.2 Метод Галеркина 38
1.4.3 Суммирование рядов Фурье 40
2 Линеаризованная многомерная обратная задача для волнового уравнения с~2(х, у)ии = Ax,yU 43
2.1 Введение 43
2.2 Постановка задачи 43
2.3 Линеаризация 44
2.4 Изучение структуры решения одномерной прямой задачи . 47
2.5 Теорема существования решения прямой задачи 51
2.6 Единственность решения обратной задачи и регуляризация 55
3 Проекционный метод 59
3.1 Введение 59
3.2 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения г% = AXtVu — q(x, у)и 60
3.2.1 Постановка задачи 60
3.2.2 Сведение к интегральному уравнению 60
3.2.3 Теорема единственности и оценка скорости сходимости проекционного метода 61
3.3 Проекционный метод решения обратной задачи для уравнения акустики utt = &х,уи- Vx,y\np(x,y)Vx,yu 71
4 Метод итераций Ландвебера решения операторного уравнения (U) = F 77
4.1 Введение 77
4.2 Общая схема метода Ландвебера 78
4.3 Метод итераций Ландвебера определения коэффициентов уравнения гьи = Ах,уи — Я.{х-> У) и 78
4.3.1 Свойства оператора обратной задачи С 80
4.3.2 Оценка скорости сходимости итераций 89
5 Прямые методы решения обратных задач 100
5.1 Введение 100
5.2 Метод обращения разностной схемы 102
5.3 Метод Гельфанда-Левитана 105
5.4 Метод граничного управления 107
6 Сравнительный анализ численных методов решения 113
6.1 Введение 113
6.2 Линеаризация 113
6.3 Проекционный метод 118
6.4 Метод Гельфанда-Левитана 120
6.5 Метод граничного управления 122
6.6 Сравнение методов граничного управления и Гельфанда-Левитана в одномерном случае 124
6.7 Численные расчеты 134
Основные результаты 144
Список обозначений 146
Литература 147
