Введение
1 Задачи вероятностной оптимизации 19
1.1. Введение 19
1.2. Основные понятия и определения 20
1.3. Постановка задач вероятностной оптимизации 25
1.3.1. Вероятностная постановка 25
1.3.2. Квантильная постановка 26
1.3.3. Постановка с вероятностным ограничением 26
1.3.4. Обзор существующих методов решения задач вероятностной оптимизации 27
1.4. Эквивалентность вероятностной и квантилыюй постановок 32
2 Детерминированные эквиваленты вероятностных задач 37
2.1. Введение 37
2.2. Виды рассматриваемых постановок задач 38
2.3. Случай билинейной целевой функции и сферически симметричного распределения 39
2.3.1. Определение целевой функции 39
2.3.2. Вид функций вероятности и квантили 39
2.3.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок 43
2.3.4. Выпуклые свойства вероятности и квантили 45
2.3.5. Пример использования 46
2.4. Случай возрастающей целевой функции относительно стратегии . 47
2.4.1. Определение целевой функции 47
2.4.2. Вид функций вероятности и квантили 47
2.4.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок 49
2.4.4. Выпуклые свойства функций вероятности и квантили . 50
2.4.5. Пример 51
2.5. Случай возрастающей целевой функции относительно случайного вектора 51
2.5.1. Определение целевой функции 51
2.5.2. Вид функций вероятности и квантили 52
2.5.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок 53
2.5.4. Выпуклые свойства функций вероятности и квантили . 54
2.5.5. Пример 55
2.6. Случай квадратичной целевой функции и сферически симметричного распределения 56
2.6.1. Определение целевой функции 56
2.6.2. Детерминированные эквиваленты вероятностной и квантильной постановок 56
2.7. Случай аддитивной структуры целевой функции и унимодальной плотности 58
2.7.1. Определение целевой функции 58
2.7.2. Вид функции вероятности 59
2.7.3. Детерминированные эквиваленты вероятностной и квантильной постановок 59
2.8. Случай сепарабельной структуры целевой функции и логарифмически вогнутой меры 60
2.8.1. Определение целевой функции 60
2.8.2. Вид функции вероятности 61
2.8.3. Детерминированные эквиваленты вероятностных постановок 62
3 Свойства выборочной оценки квантили и методы ее вычисления 64
3.1. Введение 64
3.2. Выборочная оценка квантили 65
3.3. Асимптотическая оценка среднеквадратического отклонения . 66
3.4. Свойства выборочной оценки квантили для различных распределений 66
3.4.1. Случай равномерного распределения 66
3.4.2. Случай экспоненциального распределения 67
3.4.3. Случай распределения Копій 68
3.4.4. Аналитическая аппроксимация квантили нормального распределения 70
3.4.5. Случай нормального распределения 75
3.4.6. Сравнение точности оценивания для различных распределений 76
3.5. Применение метода бутстрепа к вычислению квантили 76
3.5.1. Идея метода бустрепа 77
3.5.2. Применение метода несглаженного бутстрепа к вычислению квантили 77
3.5.3. Сглаженная оценка квантили 80
3.5.4. Применение метода сглаженного бутстрепа к вычислению квантили 83
3.6. Примеры вычисления бутстреп-квантилей 85
3.6.1. Представление погрешности оценки квантили 86
3.6.2. Вычисление квантили для равномерного распределения . 86
3.6.3. Вычисление квантили для нормального распределения . 87
3.6.4. Вычисление квантили для распределения Копій 89
4 Оптимизация двухшаговой модели изменения капитала 91
4.1. Введение 91
4.2. Постановка задачи оптимизации функции дохода 92
4.2.1. Двухшаговая модель изменения капитала 92
4.2.2. Анализ классической постановки Марковица 93
4.2.3. Виды критериев принятия решений и обобщение постановки Марковица 94
4.3. Оптимизация функции дохода по квантильному критерию 95
4.3.1. Построение функции вероятности 95
4.3.2. Условие эквивалентности задач оптимизации по квантильному и вероятностному критериям 97
4.3.3. Свойства функции вероятности 99
4.4. Оптимизация функции дохода по логарифмическому критерию 102
4.5. Оптимизация функции дохода на доверительном множестве 104
4.6. Оптимизация функции дохода по критерию интегральной квантили 106
4.7. Численный пример 108
4.7.1. Постановка задачи 108
4.7.2. Сравнение оптимальных стратегий и соответствующих им значений критериев 109
4.7.3. Применение метода бутстрепа для решения задачи квантильной оптимизации 114
Заключение 117
Список литературы 119
