Введение
1 Сильно и слабо выпуклые множества . 18
1.1 Операции над множествами 22
1.2 Топологические свойства суммы и разности множеств 26
1.3 Отношение "выпукло сильнее" для множеств 35
1.4 Сохранение отношения "выпукло сильнее" при суммировании множеств 42
1.5 Сильно выпуклые множества 53
1.6 Слабо выпуклые множества 71
1.7 Слабая выпуклость и гладкость множеств 94
1.8 Исчисление констант сильной и слабой выпуклости для множеств 106
1.9 Перестановочность геометрических операций 118
1.10 Гладкость сильно и слабо выпуклых оболочек множеств. 122
1.11 Теорема об альтернативе для дифференциальных игр 128
2 Сильно и слабо выпуклые функции . 131
2.1 Операции над функциями 134
2.2 Связь операций над множествами и операций над функциями 137
2.3 Отношение "выпукла сильнее" для функций 139
2.4 Исчисление параметоров выпуклости для функций 145
2.5 Сильно и слабо выпуклые функции 156
2.6 Слабая выпуклость и гладкость функций 161
2.7 Выпуклая, слабо выпуклая и сильно выпуклая оболочки функций 166
2.8 Аппроксимации непрерывной функции гладкими функциями 172
2.9 Верхняя и нижняя производные второго порядка 176
2.10 Сильная выпуклость множества и гладкость его опорной функции 180
2.11 Некоторые свойства операций с функциями и множествами 187
2.12 Сильно выпуклые штрафные функции 190
3 Регулярность задачи на минимакс . 194
3.1 Теоремы о существовании седловой точки 195
3.2 Непрерывная зависимость седловой точки сильно выпукло-вогнутой функции от параметра 197
3.3 Условия существования седловой точки в терминах множеств уровня . 207
4 Квадратичная сходимость алгоритмов решения линей ных дифференциальных игр . 209
4.1 Кусочно-программные стратегии 211
4.2 Дифференциальная игра с липшицевой функцией платы. 216
4.3 Дифференциальная игра с терминальным множеством. 227
4.4 Оценки погрешностей, связанных с дискретизацией по пространству. 242
4.5 Пример 252
5 Гарантированное управление в дифференциальных играх с эллипсоидальной платой . 255
5.1 Дифференциальная игра с эллипсоидальной платой 256
5.2 Стратегическая функция 259
5.3 Теорема о гарантированном управлении 261
5.4 Лемма о нижней производной 263
5.5 Доказательство теоремы о гарантированном управлении . 269
6 Дифференциальные игры с сильно выпукло-вогнутым функционалом . 277
6.1 Постановка задачи 278
6.2 Существование седловой точки в классе программных стратегий 284
6.3 Принцип минимакса 294
6.4 Непрерывность оптимальных стратегий и гладкость функции цены игры 296
6.5 Пример 306
6.6 Игры с сильно выпуклыми ограничениями 313
7 Дифференциальные игры с эллипсоидальными штрафами . 316
7.1 Теорема о седловой точке 318
7.2 Вычисление вектора сопряженных переменных методом простой итерации 331
7.3 Вычисление вектора сопряженных переменных методом Ньютона 334
7.4 Дифференциальная игра с чисто геометрическими ограничениями на управление преследователя 343
7.5 Дифференциальные игры без геометрических ограничений на управления игроков 347
7.6 Пример 349
Заключение . 352
Литература 353
Список обозначений 378
Предметный указатель 381
