Введение
I Дифференциальные игры со случайной продолжительностью 30
1 Основные модели и методы 31
1.1 Дифференциальные игры с предписанной продолжительностью. Описание игры Г(жо, о,7/) 31
1.2 Программные управления 35
1.2.1 Игры с предписанной продолжительностью 35
1.2.2 Игры с бесконечной продолжительностью 40
1.3 Позиционные управления 43
1.3.1 Игры с предписанной продолжительностью 43
1.3.2 Игры с бесконечной продолжительностью
1.4 Некоторые сведения из теории вероятностей 48
1.5 Динамика и функции выигрыша в примерах
1.5.1 Динамические модели задач природопользования 52
1.5.2 Функции выигрыша 54 Оглавление З
1.5.3 Другие модели 56
2 Дифференциальные игры со случайным моментом окончания 57
2.1 Постановка задачи. Игра Гт(х0,t0,Tf) 57
2.2 Упрощение интегрального выигрыша в игре rT(x0,to,Tf) 59
2.2.1 Пример. Упрощение интегрального выигрыша в игре rT(x0,to,Tf) 64
2.2.2 Смешанный вид выигрыша в игре Г (жо, to, Tf) 66
2.2.3 Об упрощении функции выигрыша в линейно-квадратичных дифференциальных играх 68
2.2.4 Пример. Об упрощении выигрыша в линейно-квадратичных дифференциальных играх 71
2.3 Кооперативный вариант игры Г (жо,о5 7) 73
2.3.1 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана 73
2.3.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана. Другой способ вывода 77
2.3.3 Пример игры Гт(жо, to,Tf) (программные стратегии) 79
2.3.4 Пример игры Гт(жо, to,Tf) (позиционные стратегии) 81
3 Дифференциальные игры со случайным моментом окончания. Модификации 88
3.1 Дифференциальные игры с дисконтированием и случайным моментом окончания. Описание игры rT (x0,to,Tf) 88
3.1.1 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана для игры rT P(xo,to,Tf) 91
3.1.2 Пример игры Гт,/9(жо, to, Tj) (программные стратегии) 92
3.2 Описание игры Ґ1тіп(хо,to,Tf) 96
3.2.1 Пример игры игры TTmin(xo,to,Tf) (программные стратегии) 98
3.2.2 Пример игры игры TTmin(xo,to,Tf) (позиционные стратегии) 106
3.3 Дифференциальные игры со случайным моментом окончания и асимметричными игроками.
Игра Гт« т(ж0,t0,Tf) 109
3.3.1 Упрощение функции выигрыша в игре VTmin,T(xo,to, Tj) 110
3.3.2 Уравнение Гамильтона-Якоби-Беллмана в игре rTmin T(xo,to,Tf) Ill
3.4 Дифференциальные игры с составной функцией распределения случайного момента окончания 112
3.4.1 Описание игры Гт т(жо,о) И2
3.4.2 Два вида переключений функции F(t) в игре Гт т(жо,о) 116
3.4.3 Пример игры Гт т(жо,о) 116
3.5 Дифференциальные игры со случайным моментом начала игры 123
3.5.1 Постановка задачи. Игра ГТ(х0,t0,Tf) 123
3.5.2 Упрощение выигрыша в игре TT(xo,to, Tf) 123
Игры со случайной продолжительностью. Задача минимизации риска 125
4.1 Постановка задачи 125
4.2 Минимизация дисперсии интегрального выигрыша 127
4.3 Второй момент как функция выигрыша 131
Кооперативные дифференциальные игры со случайной про Оглавление 5
должительностью в форме характеристической функции 133
5 Кооперативные дифференциальные игры с предписанной продолжительностью 134
5.1 Устойчивая кооперация в кооперативных дифференциальных иг рах с предписанной продолжительностью 134
5.1.1 Основные понятия 134
5.1.2 Принцип динамической устойчивости в игре Гу(жоj o? 7/) 138
5.1.3 Защита от иррационального поведения участников 141
5.1.4 Условия защиты от иррационального поведения для коалиций 142
5.1.5 Пример. Динамически устойчивый вектор Шепли в игре Tv(xo,to,Tf) 144
5.2 Сильно динамически устойчивое С-ядро в игре rv(x0,to,Tf) 153
5.2.1 Алгоритм построения сильно динамически устойчивого С-ядра 161
5.2.2 Алгоритм построения опорного решения для игры 2 лиц 162
5.2.3 Пример. Сильно динамически устойчивое решение в игре двух лиц 164
5.2.4 Пример. Сильно динамически устойчивое решение в игре трех лиц 172
5.3 О построении характеристической функции в игре Г(жо5 05 7) 173
5.3.1 ск-характеристическая функция в игре Г(жо5 05 7) 175
5.3.2 5 -характеристическая функция в игре Г(жо,о? Tf) 179
5.3.3 ( - характеристическая функция в игре Г(жо,о? Tf) 182
Оглавление 6
5.3.4 Пример построения a-, S-, (- характеристической функции в игре V(xo,to,Tf) 185
5.4 Двухуровневая кооперация 189
5.4.1 Игра с заданной коалиционной структурой 189
5.4.2 Пример. Динамически устойчивый принцип оптимальности в игре с двухуровневой кооперацией 194
6 Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания 202
6.1 Игра TT(xo,to, Tf) в форме характеристической функции 202
6.2 Принцип динамической устойчивости в игре rv(x0,to,Tf) 204
6.3 Защита от иррационального поведения игроков 210
6.4 Пример. Динамически устойчивый вектор Шепли в игре Щхо, t0, Tf) 214
6.5 Регуляризация в игре Гт(хо,to,Tf) 216
6.5.1 Пример регуляризации вектора Шепли 221
6.6 Сильно динамически устойчивое С-ядро в игре Ty(xo,to, Tf) 228
6.6.1 Пример. Проверка достаточных условий для сильно динамической устойчивости С-ядра 232
7 Устойчивая кооперация в играх со случайным моментом окончания. Модификации 233
7.1 Принцип динамической устойчивости в игре ГТ Р(ХО,t0,Tf) 233
7.2 Сильно динамически устойчивое С-ядро в игре TyP(xo,to, Tf) 237
7.2.1 Пример. Динамически устойчивый вектор Шепли в игре r p(xo,to,Tf) 239
7.3 Принцип динамической и сильно динамической устойчивости в игре TTmin(xo,to,Tf) 241
7.3.1 Пример. Динамически устойчивый вектор Шепли в игре rlm"ix0,to,Tf) 242
7.4 Принцип динамической устойчивости в игре Г a(xo,to) 243
III Многошаговые игры со случайной продолжительностью 246
8 Кооперативные многошаговые игры со случайным числом шагов 247
8.1 Определение многошаговой кооперативной игрыС\/( о) в форме характеристической функции 247
8.2 Принцип динамической устойчивости в игре Gy{zo) 254
8.3 Введение новой характеристической функции 262
8.4 Регуляризованные динамически устойчивые принципы оптимальности 263
8.5 Регуляризация вектора Шепли и С-ядра в игре Gv(zo) 265
8.6 Алгоритм регуляризации вектора Шепли в игре Gy{zo) 268
8.7 Сильно динамически устойчивые принципы оптимальности 270
8.8 Регуляризованные сильно динамически устойчивые принципы оптимальности 272
8.9 Пример динамически устойчивого решения в кооперативной многошаговой игре двух лиц 273
8.10 Пример регуляризации вектора Шепли в кооперативной многошаговой игре двух лиц 286
9 Многошаговые игры на деревьях событий 294
9.1 Постановка задачи 294
Оглавление 8
9.2 Кооперативный вариант игры 297
9.3 Динамически устойчивый вектор Шепли 299
9.3.1 Пример 302
Заключение 308
Литература
