Введение
ГЛАВА 1. Локально-интерполяционные оценки кривизны 40
1.1. Введение 40
1.2. Необходимые сведения из дифференциальной геометрии кривых на плоскости 44
1.2.1. Способы задания кривой 44
1.2.2. Касательная к кривой. Длина кривой 45
1.2.3. Кривизна кривой 46
1.2.4. Классы кривых и классы вероятностных зашумлений 48
1.3. Исследование оценки кривизны, полученной методом локальной
интерполяции оцифрованной кривой 50
1.3.1. Оценки кривизны методом локальной интерполяции оцифрованной кривой 54
1.3.2. Систематическая ошибка оценки кривизны 57
1.3.3. Распределение вероятностей случайной оценки кривизны при некоррелированном нормальном зашумлений кривой 59
1.3.4. Смещение случайной оценки кривизны 62
1.3.5. Случайная ошибка оценки кривизны 70
1.3.6. Упрощенная оценка кривизны методом локальной интерполяции 74
1.4. Оценка кривизны методом усреднения локально-интерполяционных оценок 75
1.5. Оценка кривизны методом аналитического сглаживания локально-интерполяционных оценок 80
1.5.1. Усреднение функций по Соболеву 81
1.5.2. е-усреднение кривизны 84
1.5.3. Аналитическое сглаживание локально-интерполяционных оценок кривизны 86
1.5.4. Систематическая ошибка аналитического сглаживания первичных оценок кривизны 87
1.5.5. Смещение аналитического сглаживания первичных оценок кривизны при сферическом нормальном зангумлении кривой 89
1.5.6. Случайная ошибка аналитического сглаживания первичных оценок кривизны при сферическом нормальном зашумлении
кривой 94
1.5.7. Оптимальные значения параметров аналитического
сглаживания первичных оценок кривизны 98
1.6. Выводы 100
ГЛАВА 2. Локально-аппроксимативные оценки кривизны 103
2.1. Введение 103
2.2. Оценивание кривизны методом явной локальной аппроксимации кривой 105
2.2.1. Оценка кривизны методом явной локальной аппроксимации кривой с помощью многочленов Чебышева 106
2.2.2. Систематическая ошибка оценки кривизны 109
2.2.3. Случайная ошибка оценки кривизны 113
2.2.4. Оптимальные значения параметров нахождения оценки кривизны 115
2.3. Оценивание кривизны методом неявной локальной
аппроксимации оцифрованной кривой 116
2.3.1. Метод геометрического сглаживания 118
2.3.2. Систематические ошибки оценок кривизны в методе геометрического сглаживания 122
2.3.3. Случайная ошибка линейной оценки кривизны в случае одномерного коррелированного зашумления непрерывной кривой 129
2.3.4. Случайная ошибка линейной оценки кривизны в случае двумерного некоррелированного зашумления дискретной кривой 132
2.3.5. Числовые характеристики случайной площади в целочисленной одномерной модели зашумления кривой 138
2.3.6. Устойчивость вычисления линейного случайного веса и оценки кривизны в целочисленной одномерной модели зашумления кривой 141
2.3.7. Смещения нелинейного случайного веса и оценки кривизны
в целочисленной одномерной модели зашумления кривой 144
2.3.8. Случайные ошибки нелинейного веса и оценки кривизны в целочисленной одномерной модели зашумления кривой 152
2.3.9. Числовые характеристики случайной абсолютной величины отклонения веса 157
2.3.10. Нахождение оптимальных значений размера окна 161
2.4. Выводы 163
ГЛАВА 3. Полигональные и векторные представления кривых 166
3.1. Введение 166
3.2. Меры информативности как способ агрегирования низкоуровневых особенностей 170
3.2.1. Аксиоматика меры информативности дискретной плоской кривой 173
3.2.2. Способы определения мер информативности контура 175
3.2.2.1. Усредненные функции информативности кривой 176
3.2.2.2. Функции информативности по локальной кривизне 179
3.2.3. Стохастическая аддитивная усредненная мера
информативности 183
3.2.3.1. Числовые характеристики стохастической аддитивной меры информативности 184
3.2.3.2. Нахождение оптимального устойчивого полигонального представления кривой 186
3.2.4. Стохастическая монотонная усредненная мера информативности 191
3.2.5. Стохастическая мера информативности по длине 195
3.2.5.1. Числовые характеристики длин сторон зашумленного многоугольника 195
3.2.5.2. Числовые характеристики стохастической меры информативности по длине 204
3.3. Получение минимального полигонального представления кривой методом нечеткой кластеризации 207
3.4. Устойчивость векторных представлений дискретной кривой 215
3.4.1. Устойчивость центра масс векторного представления контура 218
3.4.2. Устойчивость характеристик векторного представления контура 223
3.4.3. Устойчивость дескриптора Фурье 225
3.4.4. Применение теории для расчета вероятностных оценок изменения характеристик зашумленного контура 227
3.5. Вероятность уклонения центра масс векторного представления при целочисленном одномерном зашумленнии кривой 228
3.6. Выводы 233
ГЛАВА 4. Линейный индекс неточности и его применение в задачах анализа изображений 235
4.1. Введение 235
4.2. Основные определения и обозначения 239
4.3. Измерение количества неточностей в классе нижних (верхних) вероятностей с помощью разностей сопряженных мер 240
4.3.1. Сопряженная (двойственная) функция множеств 241
4.3.2. Разность сопряженных мер 243
ч
4.3.3. Усреднение разностей сопряженных мер 244
4.4. Аксиомы индекса неточности в классе нижних (верхних) вероятностей 246
4.5. Линейный индекс неточности 249
4.5.1. Положительные функционалы на конусе мер 249
4.5.2. Представления линейного индекса неточности 253
4.5.2.1. Описание линейного индекса неточности через преобразование Мебиуса дескриптивных мер 253
4.5.2.2. Описание линейного индекса неточности через свойства дескриптивных мер 259
4.6. Симметричный по дополнению индекс неточности 263
4.6.1. Общий вид линейного симметричного по дополнению индекса неточности 264
4.6.2. Крайнее множество линейных симметричных по дополнению индексов неточности 269
4.7. Продолжение индекса неточности на множество всех монотонных мер 272
4.8. Индекс неточности мер информативности по длине 277
4.8.1. Индекс неточности мер информативности по длине на алгебре, порожденной вершинами правильного я-угольника 278
4.8.2. Некоторые интерпретации индекса неточности меры информативности 286
4.9. Выводы 289
ГЛАВА 5. Вероятностная аппроксимация мер доверия и её приложения 291
5.1. Введение 291
5.2. Мера и центральная компонента неопределенности 294
5.3. Среднеквадратичная аппроксимация функции доверия вероятностной мерой 296
5.4. Векторное представление ближайшей меры. Алгебраические свойства преобразования ближайшей меры 307
5.5. Величина невязки среднеквадратичной аппроксимации 310
5.6. Симметричные меры доверия 313
5.7. Меры доверия, наименее уклоняющиеся от заданной
вероятности 315
5.8. Среднеквадратичная аппроксимация функций доверия к-аддитивными мерами 323
5.9. Равномерная аппроксимация функций доверия 324
5.10. Экстремальные меры доверия, ближайшие к вероятностной
мере 325
5.10.1. Некоторые множества экстремальных мер доверия, ближайших в среднеквадратичном к равновероятной мере 326
5.10.2. Экстремальные меры доверия, ближайшие в среднеквадратичном к произвольной вероятностной мере 333
5.10.3. Оценка числа экстремальных мер доверия, ближайших в среднеквадратичном к равновероятной мере 336
5.11. Задача оценки выигрышей коалиций при заданных полсзностях
отдельных игроков 340
5.12. Выводы 342
Заключение 344
Литература
