Введение
Глава 1. Тензорные поля на плоскости 51
1.1. Определения и предварительные результаты 51
1.1.1. Преобразование Радона 53
1.1.2. Векторные поля 60
1.2. Симметричные 2-тензорные поля 68
1.2.1. Лучевые преобразования 72
1.2.2. Формулы обращения 75
1.3. Симметричные m-тензорные поля 79
Глава 2. Численное решение задачи рефракционной томографии 88
2.1. Постановка задачи 89
2.2. Общая схема модифицированного алгоритма МНК 92
2.3. Конкретизация и особенности алгоритма 96
2.4. Задача рефракционной томографии в цилиндрической области 104
2.4.1. Метрики, допускающие наличие вполне геодезических подмногообразий 105
2.4.2. Алгоритм решения трехмерной задачи по слоям 110
2.5. Численные эксперименты 112
Глава 3. Алгоритмы векторной томографии на основе метода наимень ших квадратов. Евклидова метрика 121
3.1. Постановка задачи 122
3.2. МНК-алгоритм с использованием покоординатных базисов 124
3.3. Определение потенциальной части поля 133
3.4. Построение соленоидального базиса 137
3.5. Полиномиальное разложение векторных полей 139
3.6. Построение соленоидального базиса 31)-векторных полей 147
3.7. Численные эксперименты 159
Глава 4. Восстановление векторных полей в среде с рефракцией 167
4.1. Постановка задачи 168
4.2. Восстановление потенциала векторного поля сеточными методами 173
4.3. Отображение областей и преобразование оператора Лапласа-Бельтрами 174
4.4. Численное решение эллиптической задачи в прямоугольной области 188
4.5. Численные эксперименты 197
Глава 5. Алгоритмы восстановления симметричного 2-тензорного поля на основе МНК 205
5.1. Постановка задач и общие сведения 205
5.2. Аппроксимация тензорного поля. Покоординатный базис 207
5.3. Определение потенциальной части поля 218
5.4. Аппроксимация тензорного поля с помощью соленоидального базиса 222
5.5. Численные эксперименты и выводы 225
Глава 6. Восстановление полей на основе сингулярного разложения операторов лучевых преобразований 241
6.1. Предварительные сведения 242
6.2. Сингулярное разложение лучевых преобразований векторных полей 248
6.3. Сингулярное разложение лучевых преобразований симметричных 2-тензорных полей 253
6.4. Численные эксперименты 269
Глава 7. Восстановление сингулярного носителя 280
7.1. Поведение индикаторов разрыва векторного поля вблизи границы284
7.2. Численное моделирование 289
Заключение 300
Литература
