Введение
1 Применение схемы Неймана-Улама к решению краевых задач 13
1.1 Справочные сведения из теории мартингалов 13
1.2 Элементы теории потенциала и ряд Неймана 16
1.3 Субстохастические ядра. Свойства траекторий цепи Маркова 20
1.4 Схема Неймана-Улама для субстохастического ядра. 28
1.5 Схема Неймана-Улама. Общий случай. 33
2 Статистические алгоритмы решения краевых задач для параболических уравнений второго порядка 40
2.1 Необходимые сведения о параболических уравнениях 40
2.1.1 Фундаментальное решение параболического уравнения 41
2.1.2 Формально-сопряженный оператор и формулы Грина 43
2.1.3 Представление решения параболического уравнения в цилиндре 48
2.1.4 Интегральное представление решения задачи Коши 52
2.1.5 Представление решения параболического уравнения в шароиде 54
2.2 Задача Коши 59
2.2.1 Несмещенные оценки решения задачи Коши 62
2.2.2 Определение постоянных c и C 68
2.2.3 Оценка функционалов 71
2.2.4 Задача Коши для уравнений с дифференцируемыми коэффициентами 83
2.3 Первая краевая задача в ограниченной области 90
2.3.1 Блуждание по цилиндрам для уравнения c постоянными коэффициентами 91
2.3.2 Блуждание по сфероидам для уравнения с постоянными коэффициентами 98
2.3.3 Блуждание по цилиндрам для уравнения с переменными коэффициентами 104
2.3.4 Блуждание по шароидам для уравнения с переменным коэффициентом при неизвестной функции 119
2.3.5 Алгоритмы, связанные с дискретизацией времени 123
2.4 Одна нелинейная краевая задача 128
3 Статистические алгоритмы решения краевых задач для эллиптических уравнений второго порядка 136
3.1 Необходимые сведения об эллиптических уравнениях 137
3.1.1 Фундаментальное решение и функции Леви для эллиптического оператора 137
3.2 Первая краевая задача для эллиптического оператора 142
3.2.1 Блуждание по эллипсоидам 147
3.3 Краевые задачи для оператора Лапласа 155
3.3.1 Блуждания по полусферам 155
3.3.2 Внешняя задача Дирихле для уравнения Лапласа 170
3.3.3 Вычисление электростатических емкостей 175
3.3.4 Задача Неймана для уравнения Пуассона 186
3.4 О сочетание схемы Неймана-Улама и метода стохастической аппроксимации 195
3.4.1 Выделение главной части оператора для уравнений теории потенциала 200
A Алгоритмы моделирования некоторых распределений 203
А.1 Моделирование изотропного вектора в Rn 203
А.1.1 Изотропный вектор в пространстве 203
А.1.2 Изотропный вектор в полупространстве 205
А.1.3 Неравномерное распределение на эллипсоиде 205
А.2 Гамма и бета распределение 205
А.З Краевые задачи для параболического уравнения 208
А.3.1 Моделирование геометрического распределения 208
А.4 Первая краевая задача для эллиптического уравнения 209
А.4.1 Моделирование величины р в блуждании по сферам 209
А.4.2 Моделирование блуждания по эллипсоидам 210
А.4.3 Моделирование величины Z\ для внешней задачи Дирихле 216
Заключение 218
Литература
