Введение
1. Аналитические методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом 20
1.1. Определения и основные свойства интегродифференциальных операторов дробного порядка 20
1.2. Уравнение диффузии дробного порядка по времени 28
1.2.1. Случайное блуждание при непрерывном времени 28
1.2.2. Вывод уравнения диффузии дробного порядка по времени 31
1.3. Аналитический подход к решению прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени 35
1.3.1. Решение краевой задачи без начальных условий с периодическим источником для уравнения диффузии дробного порядка по времени 35
1.3.2. Фундаментальное решение уравнения диффузии дробного порядка по времени 40
1.3.3. Решение первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка по времени 43
1.3.4. Связь между фундаментальным решением уравнения диффузии дробного порядка по времени и функцией Грина первой краевой задачи 45
1.3.5. Решение краевой задачи с однородными граничными условиями для уравнения диффузии дробного
порядка по времени методом Фурье 47
1.3.6. Постановка и решение обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени 49
1.4. Выводы 52
2. Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом 54
2.1. Метод конечных разностей численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом 55
2.1.1. Разностная схема для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом 56
2.1.2. Обобщенный метод прогонки решения первой краевой задачи для уравнения диффузии дробного порядка
по времени с постоянным коэффициентом 58
2.1.3. Получение оценок решения разностной краевой задачи 60
2.1.4. Исследование устойчивости разностной схемы
для уравнения диффузии дробного порядка по времени 63
2.1.5. Определение порядка аппроксимации разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка по времени 67
2.2. Метод Монте-Карло численного решения краевых задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с постоянным коэффициентом 71
2.2.1. Связь дробно-устойчивых распределений с фундаментальным решением уравнения с дробной производной по времени 73
2.2.2. Классическая модель случайного блуждания 76
2.2.3. Построение дискретной модели случайного блуждания для диффузии дробного порядка по времени 78
2.2.4. Разложение случайного блуждания на диффузионную и дисперсионную составляющие 81
2.3. Результаты вычислительных экспериментов 85
2.3.1. Численное решение краевой задачи с однородными граничными условиями 85
2.3.2. Решение уравнения диффузии дробного порядка по времени методом Монте-Карло 86
2.4. Выводы 89
3. Численные методы решения прямых и обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом 90
3.1. Метод конечных разностей численного решения уравнения диффузии дробного порядка
по времени с переменным коэффициентом 90
3.1.1. Интегро-интерполяционный метод построения разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка с переменным коэффициентом 90
3.1.2. Обобщенный метод прогонки численного решения краевой задачи для разностного уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом 95
3.1.3. Получение оценок решения разностной краевой задачи 98
3.1.4. Исследование устойчивости разностной схемы для уравнения диффузии дробного порядка
по времени с переменным коэффициентом 99
3.2. Метод минимизации функционала невязки решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом 102
3.2.1. Постановка прямых и обратных задач 102
3.2.2. Свойства решения разностной прямой задачи 103
3.2.3. Построение и основные свойства функционала невязки 107
3.2.4. Метод Левенберга—Марквардта минимизации функционала невязки 113
3.2.5. Метод секущих минимизации функционала невязки . 118
3.2.6. Метод Флстчера—Ривса минимизации функционала невязки 120
3.3. Результаты вычислительных экспериментов 124
3.3.1. Выбор критериев останова алгоритмов в методе минимизации функционала невязки 125
3.3.2. Исследование свойств функционала невязки 127
3.3.3. Численное решение обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени 132
3.3.4. Случай постоянного коэфициента 136
3.4. Выводы 137
4. Эволюционные методы решения обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени с переменным коэффициентом 139
4.1. Применение генетических алгоритмов для минимизации функционала невязки 139
4.2. Применение алгоритма поиска по шаблону для улучшения приближенного решения 145
4.3. Результаты вычислительных экспериментов 147
4.3.1. Численное решение обратных задач для уравнения диффузии дробного порядка по времени 147
4.3.2. Сравнительный анализ эффективности классических и эволюционных алгоритмов 148
4.3.3. Пример последовательного использования ГА и метода Левенберга—Марквардта 150
4.4. Выводы 151
Заключение 152
Список использованных источников
