Введение
Глава 1. Основные понятия линейной теории упругости 17
1.1. Напряжения 17
1.2. Линейные деформации 29
1.3. Уравнения состояния 39
1.4. Краеввю задачи 50
1.4.1. Формулировка задач статики 50
1.4.2. Динамические задачи 57
1.5. Упрощеннвю модели 59
1.5.1. Упругие стержни и струны 59
1.5.2. Модели балок 65
1.5.3. Мембранві 69
1.5.4. Плоское напряженное и плоское деформированное состояния 73
1.6. Классические вариационные подходві 76
1.6.1. Энергетические соотношения 76
1.6.2. Прямвіе принципві 78
1.6.3. Дополнителвнвіе принципві 83
1.7. Вариационные принципы в динамике 85
1.8. Обобщеннвіе вариационные принципы 94
1.8.1. Соответствия между вариационнвіми принципами 94
1.8.2. Полу-обратнвш подход 102
1.9. Конечно-элементная дискретизация 104
1.9.1. Метод Ритца 106
1.9.2. Метод Галеркина 109
1.9.3. Метод конечнвгх элементов 111
1.9.4. Метод граничных элементов 121
Глава 2. Метод интегро-дифференциалвнвіх соотношений 123
2.1. Основнвіе идеи 123
2.1.1. Аналитические решения в линейной теории 123
2.1.2. Интегральная формулировка закона Гука 130
2.2. Семейство квадратичных функционалов 135
2.3. Метод Ритца в МИДС 139
2.3.1. Алгоритм полиномиальных аппроксимаций 139
2.3.2. Двумерная защемленная пластина - статический случай 142
2.4. Двумерные задачи о свободных колебаниях 147
2.4.1. Формулировка краевой задачи 148
2.4.2. Собственные колебания круглых и эллиптических мембран 153
2.5. Вариационные принципы для квадратичных функционалов .162
2.6. Связь с классическими вариационными принципами 166
2.7. Двусторонние энергетические оценки 170
2.8. Тело на упругом основании 181
2.8.1. Вариационный принцип для функционала энергетической ошибки181
2.8.2. Двусторонние оценки в задачах с Винклеровским основанием 188
Глава 3. Метод конечных элементов на основе итегро-дифференциального подхода 195
3.1. Кусочно полиномиальные аппроксимации 195
3.1.1. Двумерные С0 полиномиальные сплайны 195
3.2. Гладкие полиномиальные сплайны 199
3.2.1. Треугольник Аргириса 199
3.2.2. Матрица жесткости для треугольника Аргириса 206
3.2.3. С2-аппроксимации для треугольного элемента 208
3.3. Конечно-элементная техника в задачах линейной упругости .211
3.3.1. Алгоритм МКЭ 211
3.4. Уточнение и адаптация сетки 225
Глава 4. Вариационный, асимптотический и проекционный подходы на основе полу-дискретных аппроксимаций 238
4.1. Сведение задачи в частнвгх производнвіх к системе ОДУ 239
4.2. Анализ напряженно-деформированного состояния балки 249
4.3. Двумерные колебания упругой балки 255
4.4. Асимптотический подход 264
4.4.1. Классический вариационнвш подход 265
4.4.2. Интегро-дифференциалвный подход 271
4.4.3. Основнвю идеи асимптотического подхода 271
4.4.4. Уравнения балки - общий случай нагружения 278
4.5. Колебания упругой балки 283
4.5.1. Формулировка задачи на собственнвю значения 284
4.5.2. Продолвнвю колебания балки 288
4.5.3. Поперечнвю колебания балки 294
4.6. Трехмерные задачи статики 302
4.7. Проекционная формулировка задач линейной упругости 318
4.8. Проекции, вариации и асимптотики 324
Глава 5. Моделирование трехмернвгх задач статики и динамики 331
5.1. Проекционные алгоритмві 331
5.2. Консолвная балка с треуголвнвш сечением 353
5.3. Проекционная моделв балки 359
5.4. Интегралвнвіе характеристики балки с треуголвном поперечнвш сечением 362
5.5. Интегралвнвіе проекции в задаче на собственнвю значения 365
5.6. Естественнвіе колебания балки с треуголвнвш поперечнвш сечением370
5.7. Вынужденные колебания балки с треуголвнвш сечением 383
Заключение 388
Список литературы 391
