Введение
Глава 1. Основные подходы к апостериорному контролю погрешности решений эллиптических краевых задач 29
1.1. Связь погрешности приближенного решения с нормой невязки соответствующего дифференциального уравнения 30
1.2. Явный метод невязок 32
1.3. Метод невязок с использованием сопряженной задачи 39
1.4. Метод невязок с решением локальных задач 41
1.5. Иерархический метод 44
1.6. Индикаторы ошибки на основе сглаживания градиента приближенного решения 48
1.7. Вариационный подход и его связь с методом гиперокружностей 55
1.8. Метод оценки погрешности через определяющее соотношение 58
1.9. Мажоранты ошибки на основе функционального подхода 63
1.10. Проблемно-ориентированные оценки 69
1.11. Оценка погрешности моделей 71
1.12. О свойствах различных оценок и критериях их сравнения 73
Глава 2. Вычислительный эксперимент для классических скалярных задач — сравнение подходов и адаптивные алгоритмы 81
2.1. Методики вычисления функциональных мажорант погрешности 81
2.2. Два способа построения свободной переменной и связанные с этим аппроксимации 84
2.3. Сравнение функциональной мажоранты с классическими методами на фиксированных сетках з
2.4. Реализация адаптивных алгоритмов с использованием пары кусочно-линейных непрерывных аппроксимаций метода конечных элементов 97
2.5. Преимущества и недостатки аппроксимации Равьяра-Тома наименьшего порядка как альтернативы непрерывным 115
2.6. Основные выводы 125
Глава 3. Апостериорные оценки для некоторых моделей в теории пластин и стержней 127
3.1. Обзор публикаций по современным методам конечных элементов и апостериорному контролю точности в задаче об изгибе пластин Рейсснера-Миндлина 127
3.2. Классическая и обобщенная постановка задачи 132
3.3. Построение апостериорных оценок с привлечением методов теории двойственности вариационного исчисления 136
3.4. Оценка энергетической нормы ошибки на основе преобразования интегральных тождеств 144
3.5. Некоторые численные результаты для пластин 147
3.6. Обобщение метода на другие типы краевых условий 150
3.7. Надежный контроль точности для задачи об изгибе прямолинейных балок Тимошенко 156
3.8. Численные результаты для балок Тимошенко 160
3.9. Функциональные апостериорные оценки ошибки для балок Бер-нулли-Эйлера 166
3.10. Бигармоническая задача 169
3.11. Основные выводы 171
Глава 4. Задачи классической теории упругости 173
4.1. Математическая постановка плоских и пространственных задач
линейной теории упругости 174
4.2. Обзор применения методов апостериорного контроля точности приближенных решений в теории упругости 178
4.3. Функциональная оценка погрешности с симметричным тензором напряжений 190
4.4. Реализация вычисления мажоранты на основе стандартной билинейной аппроксимации метода конечных элементов 193
4.5. Оценка погрешности с учетом условия симметрии тензора в форме дополнительного штрафного слагаемого 196
4.6. Смешанные аппроксимации метода конечных элементов для четырехугольников и некоторые детали их реализации 199
4.7. Численные результаты работы авторского комплекса программ для оценки точности приближенных решений в плоских задачах классической теории упругости 204
4.8. Случай нескольких материалов в модели и сравнение с пакетом ANSYS 209
4.9. Адаптивные алгоритмы на основе функциональной мажоранты с парой аппроксимаций Равьяра-Тома нулевого порядка 213
4.10. Некоторые результаты для пространственных задач 214
4.11. Основные выводы 218
Глава 5. Апостериорные оценки в теории упругости Коссера 220
5.1. Плоские задачи для континуума Коссера с граничным условием на перемещения и поворот 223
5.2. Представление энергетической нормы отклонения от точного решения 225
5.3. Аналог оценки Прагера-Синжа 226
5.4. Функциональная апостериорная оценка и ряд ее вычислительных свойств 229
5.5. Плоские задачи со смешанными краевыми условиями 233
5.6. Представление погрешности и класс ее гарантированных апостериорных оценок 236
5.7. Об одном аналитическом решении 245
5.8. Численные результаты и оценка области эффективного применения авторского комплекса программ для анализа погрешности приближенных решений в плоских задачах теории упругости Коссера 248
5.9. Основные выводы 257
Заключение 258
Список литературы
