Введение
1 Предельные циклы на участке удвоения периода. Анализ стохастической чувствительности при переходе к хаосу 21
1.1. Анализ детерминированной системы Пиковского. Структура участка перехода к хаосу 21
1.1.1. Положение равновесия 21
1.1.2. Участок перехода к хаосу. Построение предельных циклов 22
1.1.3. Орбитальная устойчивость предельных циклов системы Пиковского 35
1.2. Стохастическая чувствительность предельных циклов системы Пиковского 41
1.2.1. Стохастические циклы 41
1.2.2. Функция стохастической чувствительности 42
1.2.3. Метод установления для вычисления ФСЧ и его модификация 46
1.2.4. Чувствительность циклов системы Пиковского 48
1.2.5. Стохастические суперциклы 49
1.2.6. Экспоненциальный рост стохастической чувствительности суперциклов при переходе к хаосу 51
2 Стохастическая устойчивость линейного уравнения с периодическими коэффициентами 53
2.1. Необходимые и достаточные условия стохастической устойчивости в среднем квадратичном для линейных систем 53
2.1.1. Метод функций Ляпунова 54
2.1.2. Метод моментов 55
2.1.3. Спектральный критерий экспоненциальной устойчивости в среднем квадратичном линейных систем с периодическими коэффициентами 56
2.1.4. Линейное уравнение с периодическими коэффициентами 58
2.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической устойчивости для линейного уравнения 60
2.2.1. Случай уравнения с постоянными коэффициентами 60
2.2.2. Уравнение с периодическими коэффициентами. Итерационный процесс 61
2.2.3. Вычисление значений оператора стохастической устойчивости 62
2.2.4. Формулировка теоремы сходимости итерационного процесса 63
2.2.5. Необходимые сведения из функционального анализа 63
2.2.6. Доказательство теоремы сходимости 66
2.2.7. Повышение точности вычисления спектрального радиуса 71
2.3. Анализ устойчивости стохастически возмущенного уравнения Матье 72
2.3.1. Области устойчивости в плоскости параметров j и а 72
2.3.2. Области неустойчивости в плоскости параметров є и си 75
3 Орбитальная стохастическая устойчивость предельных циклов 78
3.1. Экспоненциальная орбитальная устойчивость в среднем ква дратичном предельных циклов 78
3.1.1. Определение устойчивости. Орбитальные функции Ляпунова 78
3.1.2. Системы первого приближения. Р-устойчивость 80
3.1.3. Спектральный критерий устойчивости 82
3.1.4. Оценки спектрального радиуса оператора стохастиче ской устойчивости 84
3.2. Вычисление спектрального радиуса оператора стохастической
устойчивости для предельных циклов 85
3.2.1. Итерационный процесс 85
3.2.2. Ускорение вычисления значений оператора стохастической устойчивости 85
3.2.3. Теорема сходимости 85
3.3. Стохастическая система Ресслера. Система первого приближения 88
3.4. Спектральный радиус оператора стохастической устойчивости и его оценки для системы Ресслера 91
3.5. Критическая интенсивность шумов в системе Ресслера . 93
Заключение 98
Приложение. Программный комплекс 100
4.1. Вычислительные возможности комплекса 100
4.2. Реализация отдельных модулей 102
4.2.1. Поиск предела последовательности матриц 102
4.2.2. Генерация случайного трехмерного вектора 107
Литература
