Введение
1 Изоэлектрическое фокусирование как объект математического моделирования 32
1.1 История создания метода ИЭФ 32
1.2 Электрохимические основы метода ИЭФ 36
1.3 Фундаментальные математические модели электрофореза . 40
1.4 Развитие метода ИЭФ в последние десятилетия 41
1.5 «Аномальные» режимы ИЭФ. Задачи математического моделирования ИЭФ 43
1.6 Заключение к Главе 1 49
2 Численная реализация задачи ИЭФ в естественных градиентах pH 50
2.1 Физическая постановка задачи 52
2.2 Математическая постановка задачи 52
2.2.1 Закон сохранения массы вещества 54
2.2.2 Обобщенный закон Ома в растворе 55
2.2.3 Уравнение электронейтральности в растворе 56
2.2.4 Интегральные условия, заменяющие обычные краевые условия (следствие закона сохранения массы) . 56
2.2.5 Постановка задачи 57
2.3 Преобразование системы 58
2.4 Численное решение задачи (2.13) - (2.19) 62
2.4.1 Алгоритмы численного решения задачи 62
2.5 Исследование задачи асимптотическими
2.6 Результаты расчетов и их интерпретация 70
2.7 Заключение к Главе 2 95
3 Исследование жесткой краевой задачи ИЭФ методом перевала 99
3.1 Представление решения в виде экспоненты с рядом в показателе 101
3.1.1 Преобразование системы 101
3.1.2 Представление решения в экспоненциальной форме . 103
3.2 Асимптотика с экспоненциально-степенными функциями . 108
3.2.1 Получение асимптотики грх [х^ї) 108
3.2.2 Получение асимптотического решения задачи в общем случае 113
3.2.3 Суммирование ряда в асимтотике (3.53) 115
3.2.4 Асимптотика функции ф(х) 116
3.2.5 Асимптотическое решение для случая
равномерного распределения 117
3.2.6 Область сходимости ряда по четным степеням большого параметра 120
3.2.7 Кусочно-заданная асимптотика в виде экспоненциальных функций 121
3.2.8 Проверка выполнимости интегральных условий . 122
3.2.9 Анализ полученных формул 125
3.3 Асимптотика с рядом по степенным функциям 127
3.3.1 Асимптотика решения в обычных режимах 128
3.3.2 Получение первых членов асимптотики рядов (3.88),
3.3.3 Получение вторых членов асимптотики рядов (3.88),
3.3.4 Получение общего вида асимптотики функций &(ж),
3.3.5 Асимптотика для случая равномерного распределения 135
3.4 Заключение к Главе 3 137
4 Решение задачи ИЭФ в «аномальных» режимах методом касательных 139
4.1 Преобразование краевой задачи ИЭФ 141
4.2 Исследование задачи методом касательных в окрестности точки пересечения профилей 142
4.3 Обобщение метода на весь отрезок интегрирования 149
4.4 Численная реализация модели 155
4.5 Построенная аппроксимация как решение задачи в слабой (вариационной) формулировке 161
4.5.1 Исходная задача и переход к слабой формулировке . 162
4.5.2 Слабая формулировка задачи 163
4.5.3 Аппроксимация решения задачи (4.70)-(4.74) 164
4.5.4 Преобразование интегралов 1^ 165
4.5.5 Выбор аппроксимирующих функций 166
4.5.6 Оценка интегралов / 168
4.5.7 Вычисление количества вещества 171
4.5.8 Выбор ifj(t) в виде линейной функции 172
4.5.9 Выбор ifj(t) в виде нелинейной функции 174
4.5.10 Решение на всем отрезке 176
4.6 Заключение к Главе 4 177
5 Исследование задачи ИЭФ в «аномальных» режимах методом сингулярных асимптотик 179
5.1 Преобразование задачи к виду, формально не зависящему от пространственной переменной 180
5.2 Сингулярная асимптотика без учета слагаемых, содержащих малый параметр 182
5.3 Исследование сингулярной асимптотики графическими методами 193
5.4 Сингулярная асимптотика c учетом слагаемых, включающих малый параметр 204
5.5 Заключение к Главе 5 211
6 Асимптотическое нахождение начальных приближений для метода пристрелки 212
6.1 Получение общей формулы для начальных приближений 214
6.1.1 Используемые соотношения 214
6.1.2 Универсальная формула начальных приближений 216
6.1.3 Вычисление Fk(0) в «аномальных» режимах по формуле (6.17) на основе метода касательных 217
6.2 Расширение области применения метода касательных на обычные режимы 221
6.2.1 Свойства угловых коэффициентов касательных к профилям амфолитов и градиенту pH 221
6.2.2 Область применимости модели 223
6.2.3 Изоэлектрические точки как пересечения касательных к профилю 224
6.2.4 Обоснование применимости метода касательных в обычных режимах 225
6.2.5 Доказательство сходимости асимптотических решений, полученных методом касательных и методом перевала 228
6.3 Аппроксимация профилей концентраций в обычных режимах 230
6.3.1 Аппроксимация плотностью гауссовского распределения со смещением. Общий случай 231
6.3.2 Аппроксимация на основе асимптотической формулы (6.66). Общий случай 233
6.3.3 Аппроксимация на основе асимптотической формулы 6.66. Равномерное распределение 237
6.3.4 Уточнение параметров формулы аппроксимации 239
6.4 Аппроксимация профилей концентраций в «аномальных» ре-
6.5 Алгоритм построения асимптотического решения задачи 242
6.6 Методы нахождения начальных значений Fk(0) для метода пристрелки 246
6.6.1 Нахождение значений і^(0) на основе непосредственного применения Алгоритма 2 246
6.6.2 Метод вычисления начальных значений через функцию проводимости о" 248
6.7 Заключение к Главе 6 251
Приложение 1 (к Главе 3). Свойства ряда по четным степеням большого параметра 258
Приложение 2. Существование и единственность решения задачи ИЭФ 265
Заключение 252
Литература
