Введение
1. Стохастические дифференциальные уравнения 8
1.1. Общие понятия 8
1.2. Линейные стохастические уравнения 19
1.3. Стохастические дифференциальные уравнения Ито 21
1.4. Стохастические дифференциальные уравнения Стратоновича 25
1.5. Стохастическое разложение Тейлора 27
A. Детерминистические разложения Тейлора 27
B. Разложение Ито-Тейлора 29
C. Разложение Стратоновича-Тейлора 32
D. Приближения кратных интегралов Стратоновича 33
E. Генерирование кратных интегралов Стратоновича 38
F. Связи между кратными интегралами Ито и Стратоновича 38
2. Стахостическое моделирование в дискретном времени
2.1. Методы аппроксимации и интерполяции 41
A. Аппроксимация Эйлера 41
B. Интерполяция в дискретном времени 42
2.2. Кусочная аппроксимация и сильная сходимость 44
A. Критерий «абсолютной ошибки» 44
B. Доверительные интервалы для абсолютной ошибки 45
C. Порядок сильной сходимости 46
2.3. Аппроксимация моментов и слабая сходимость 47
A. Средняя ошибка 48
B. Систематическая и статистическая ошибки 49
C. Порядок слабой сходимости 50
2.4. Численная устойчивость 51
A. Численная устойчивость в детерминистическом случае 52
B. Жесткие стохастические дифференциальные уравнения 55
C. Численная асимптотическая устойчивость 56
3. Сильные численные схемы 59
3.1. Сильная схема Тейлора 59
A. Схема Эйлера 60
B. Схема Мильштейна 61
C. Сильная схема Тейлора порядка 1.5 62
D. Сильная схема Тейлора порядка 2.0 64
3.2. Явные сильные схемы 64
A. Явные сильные схемы порядка 1.0 64
B. Сильная явная схема порядка 1.5 66
C. Сильные явные схемы порядка 2.0 67
D. Двухшаговая сильная схема порядка 1.0 67
E. Двухшаговая сильная схема порядка 1.5 68
3.3. Неявные сильные схемы 69
A. Неявная схема Эйлера 69
B. Неявная схема Мильштейна 70
C. Неявные сильные схемы Тейлора порядков 1.5 и 2.0 71
D. Неявные сильные схемы Рунге-Кутта 73
E. Неявные сильные двухшаговые схемы 75
4. Слабые численные схемы 78
4.1. Слабые схемы Тейлора 78
A. Слабая схема Эйлера 78
B. Слабая схемы Эйлера порядка 2.0 79
C. Слабая схема Тейлора порядка 3.0 80
4 D. Слабые схемы Тейлора порядка 4.0
4.2. Явные слабые схемы
A. Явные слабые схемы порядка 2.0
B. Явная слабая схема порядка 3.0
4.3. Неявные слабые численные схемы
A. Неявные схемы Тейлора
B. Слабые неявные схемы порядка 2.0
C. Метод типа «предиктор-корректор»
D. Методы типа «предиктор-корректор» порядка
5. Применение стохастических дифференциальных уравнений в практических задачах
5.1. Модель поведения одного потребителя
A. Идентификация параметров модели
B. Исследование свойств метода идентификации
C. Численный пример
5.2. Модель поведения нескольких потребителей
A. Идентификация параметров модели
B. Численное моделирование
C. Численный пример
Заключение
Литература
Приложения
