Введение
1 Предварительные сведения 27
1.1 Расслоения джетов 27
1.1.1 Джеты сечений 27
1.1.2 Распределения Картана 29
1.1.3 Преобразования Ли 30
1.1.4 Поля Ли 31
1.2 Дифференциальные уравнения 33
1.2.1 Уравнения и их решения 33
1.2.2 Продолжения уравнений 34
1.2.3 Символы 35
1.2.4 Характеристические ковекторы 35
1.2.5 Классические симметрии 36
2 Дифференциальные инварианты 37
2.1 Естественные расслоения 37
2.2 Расслоения джетов сечений 39
2.2.1 Поднятия диффеоморфизмов 39
2.2.2 Дифференциальные инварианты 40
2.2.3 Поднятие векторных полей 40
2.3 Формальные векторные поля 42
2.4 Пространства формальных симметрии 44
2.5 Алгебра изотропии 46
2.6 Горизонтальные подпространства 48
2.7 Структурные дифференциальные инварианты 49
2.7.1 Структурные функции 50
2.7.2 Тензорные инварианты 51
2.7.3 Выделенные горизонтальные подпространства 52
2.7.4 Линейные связности на сечениях 54
2.8 Пример. Почти-комплексные структуры 56
2.8.1 Расслоение почти-комплексных структур 56
2.8.2 Пространства формальных симметрии 59
2.8.3 Инвариантное дополнение 60
2.8.4 Тензорный дифференциальный инвариант 62
2.9 Скалярные дифференциальные инварианты 64
2.9.1 Скалярные дифференциальные инварианты порядка к 65
2.9.2 Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов 67
2.10 Заключительные замечания 69
3 Уравнения газовой динамики 71
3.1 Уравнения адиабатического движения газа 71
3.2 Одномерная газовая динамика 72
3.2.1 Расслоение 3-тканей 74
3.2.2 Дифференциальные инварианты 77
3.2.3 Локально-плоские решения 82
3.3 Дополнение. Скалярные инварианты 3-тканей 84
3.3.1 Алгебры изотропии при к 2 84
3.3.2 Орбиты 85
3.3.3 Алгебра скалярных дифференциальных инвариантов 85
3.4 Двумерная газовая динамика 90
3.4.1 Расслоение геометрических структур 91
3.4.2 Дифференциальные инварианты 94
3.4.3 Дифференциальные инварианты на решениях 97
3.4.4 Решения без кручения . 100
3.5 Трехмерная газовая динамика 101
3.5.1 Расслоение геометрических структур 103
3.5.2 Дифференциальные инварианты 106
3.5.3 Дифференциальные инварианты на решениях 108
3.5.4 Решения с тривиальными структурными инвариантами 109
4 Метрики на решениях 111
4.1 Предварительные сведения 111
4.1.1 Линейная связность 111
4.1.2 Метрики 112
4.2 Уравнение Хохлова-Заболотской 114
4.2.1 Нелинейный дифференциальный оператор 114
4.2.2 Символы оператора Д 115
4.2.3 Метрики Минковского на решениях 116
4.2.4 Явные решения 116
4.3 Уравнение трансзвукового поток газа 119
4.3.1 Метрика на решениях 120
4.3.2 Явные решения 121
4.4 Уравнения коротких волн 124
4.4.1 Метрика на решениях 124
4.4.2 Явные решения 125
5 Уравнения Монжа-Ампера 129
5.1 Геометрия уравнения Монжа-Ампера 129
5.1.1 Расслоение джетов 129
5.1.2 Гиперболичность 130
5.1.3 Косоортогональные распределения 132
5.2 Расслоение уравнений Монжа-Ампера 135
5.2.1 Расслоение гиперболических уравнений 135
5.2.2 Орбиты 137
5.3 Дифференциальные инварианты 139
5.3.1 Проекторы 139
5.3.2 Координатное описание проекторов 141
5.3.3 Формы кривизны 143
5.3.4 Скалярные инварианты на J27T 143
5.3.5 Подклассы уравнений общего положения 145
5.3.6 Абсолютный параллелизм 146
5.3.7 Слалярные инварианты на J37r 147
5.4 Проблема эквивалентности 149
6 Нелинейные ОДУ 2-го порядка 151
6.1 Естественное расслоение уравнений 151
6.1.1 Поднятия диффеоморфизмов 151
6.1.2 Поднятие векторных полей 153
6.2 Алгебры изотропии и орбиты 155
6.2.1 Алгебры изотропии 155
6.2.2 Орбиты 159
6.3 Тензорные инварианты 160
6.3.1 Инварианты на J27r 160
6.3.2 Инварианты на J3ir 165
6.4 Скалярные дифференциальные инварианты 171
6.4.1 Образующие и соотношения 173
6.5 Проблема эквивалентности 177
6.5.1 Уравнение преобразований 177
6.5.2 Скалярные инварианты уравнений 179
6.6 Приложение 183
6.6.1 Доказательство теоремы 6.6 183
6.6.2 Выражение ш2 в стандартных координатах 185
6.6.3 Доказательство леммы 6.1 186
6.6.4 Доказательство Теоремы 6.10 187
7 Линейные ОДУ 191
7.1 Предварительные сведения 191
7.1.1 Преобразования линейных ОДУ 191
7.1.2 Симметрии линейных ОДУ 193
7.2 Точечные симметрии линейных ОДУ 195
7.3 Эквивалентность уравнений „+4 197
7.4 Контактные преобразования линейных ОДУ 197
7.5 Редукция к проективным преобразованиям 199
7.6 Проблема эквивалентности. Уравнения „+2 и „+і 200
7.6.1 Расслоения линейных ОДУ 200
7.6.2 Проективные симметрии 204
7.6.3 Инвариантные подрасслоения 205
7.6.4 Скалярные дифференциальные инварианты 207
7.6.5 Проблема эквивалентности 212
Приложение 215
Библиография 229
