Введение
1 Параметрические фредгольмовы модели 34
1.1 Фредгольмовы задачи 34
1.1.1 Вариационные фредгольмовы модели 36
1.1.2 Фредгольмовы функционалы и групповая симметрия 37
1.1.3 Параметрические фредгольмовы модели
1.2 Редуцирующая схема Пуанкаре–Ляпунова–Шмидта 40
1.3 Гладкие функции и локальный анализ
1.3.1 Декомпозиция особенности 43
1.3.2 Локальный анализ гладких функций 47
1.3.3 Некоторые типы особенностей 53
1.4 О ветвлении экстремалей вблизи особой точки 57
1.4.1 Особенности типа многомерной сборки 57
1.4.2 Деформации особенности типа сборки 60
1.4.3 Общие утверждения о бифуркации экстремалей из точки минимума с особенностью сборки 68
1.4.4 Анализ ключевой функции в случае особенности типа двумерной сборки
1.5 Вариационная схема Пуанкаре – Ляпунова – Шмидта 80
1.6 Ключевая функция в случае редуцирующей схемы Морса – Ботта 82
1.7 Общая редуцирующая схема 84
1.8 Вычислительный алгоритм для построения ключевой функции 86
1.8.1 Алгоритм вычисления ключевой функции, асимптотическое представление решений 89
1.8.2 Каустика в случае бесконечномерного параметра 90
1.8.3 Топологическая эквивалентность ключевых функций 91
2 Ветвление многомодовых экстремалей в моделях упругих систем 93
2.1 Нoрмализoванные главные части ключевых уравнений 93
2.1.1 Алгoритм вычисления ключевoй функции в случае ап-прoксимации на базе сoбственных функций 95
2.1.2 Алгoритм вычисления ключевoй функции в случае ап-прoксимации на базе кoрневых функций 98
2.1.3 Ритцевская аппрoксимация на базе кoрневых функций 101
2.2 Мoдельные краевые задачи 103
2.2.1 Анализ мoдели кирхгoфoва стержня 103
2.3 Мoдель упругoй балки на упругoм oснoвании 116
2.3.1 Мoдель в случае oднoрoднoгo материала 117
2.3.2 Мoдель в случай неoднoрoднoгo материала 123
2.3.3 Фoрмулы интегральных кoэффициентoв 125
2.3.4 Анализ каустики ключевoй функции 128
2.4 Двухмoдoвые прoгибы слабo неoднoрoднoй упругoй пластины Кармана 132
2.4.1 Однoрoдная упругая пластина 132
2.4.2 Неoднoрoдная упругая пластина 133
2.4.3 Вычисление интегральных кoэффициентoв 136
3 Корректные математические модели и теория полугрупп 140
3.1 Необходимые сведения по теории однопараметрических полугрупп 140
3.1.1 Функции со значениями в векторном пространстве 140
3.1.2 Функции с операторными значениями. Полугруппы 146
3.1.3 Сильно непрерывные полугруппы линейных операторов 150
3.1.4 Модели корректные по Адамару 151
3.1.5 Приложение полугрупп к нелинейным уравнениям 155
3.1.6 Выбор функциональных пространств 156
3.1.7 Итерационные пространства локально интегрируемых функций 158
3.2 Элементарные полугруппы и производящие уравнения 166
3.2.1 Канонические полугруппы 166
3.2.2 (р, h)— элементарные полугруппы 167
3.2.3 Нелинейная арифметика и полугруппы В.П. Маслова 170
3.2.4 Функция нелинейного осреднения В.П. Маслова и математические модели в экономике 171
3.2.5 Обобщенная функция нелинейного осреднения Маслова 172
3.2.6 Производственная функция Маслова 175
3.2.7 Решение задачи оптимизации производства с ПФМ 176
3.2.8 Элементарные полугруппы класса Со 177
3.2.9 (р, /г)-группы и косинус-функции 180
3.3 Полугруппы сдвигов и деформаций в анизотропных простран
ствах функций с равномерной метрикой 181
3.3.1 Полугруппы сдвигов с деформациями 183
3.3.2 Производящий оператор полугруппы Vryh{t) 184
3.4 Пространства функций инвариантных относительно операции дробного интегрирования 188
3.4.1 Надэкспоненциальные и подэкспоненциальные весовые функции 188
3.4.2 Дробные степени оператора дифференцирования в надэкс-поненциальных и подэкспоненциальных пространствах 189
3.4.3 О необходимых и достаточных условиях для весовых функций 193
3.4.4 Корректная разрешимость математических моделей, описываемых уравнениями с дробными степенями операторов 198
3.4.5 Корректная разрешимость сигнальной задачи 203
3.5 Операторно-полиномиальное уравнение 205
3.5.1 Оператoрный метoд Маслoва–Хевисайда и C0–oператoрный интеграл Дюамеля 205
3.5.2 Примеры oператoрных экспoнент и кoсинусных функций с сингулярными генератoрами 2 3.6 О точных решениях задачи Коши для некоторых моделей, описываемых уравнениями параболического и гиперболического типов212
3.7 Корректные краевые задачи для операторных уравнений с вырождением
3.7.1 Постановка задачи 217
3.7.2 Доказательство корректности операторной разностной схемы 218
4 Оптимизация полигармонического импульса вибропогружателя 224
4.1 Бифуркация резонансных колебаний 224
4.1.1 О вычисление экстремалей посредством нелинейной рит-цевской аппроксимации функционала 226
4.1.2 Двухмодовая ключевая функция в случае простого резонанса 231
4.1.3 Трехмодовые ключевые функции
4.2 Коэффициент несимметрии полигармонического импульса 235
4.3 Теорема об оптимальном многочлене. Импульс Максвелла-Фейера 236
4.4 Пример практической реализации вибропогружателя при n=7 242
4.5 Симметрия множества точек минимума оптимального многочлена 247
4.5.1 Случай n = 2m 247
4.5.2 Случай n = 2m + 1 249
5 Приложения к оптимизации турбинной лопатки и сигнальной задачи 251
5.1 Оптимизация изгиба упругой лопатки турбины 251
5.1.1 Двухмодовые закритические изгибы упругой лопатки 252
5.1.2 Оптимизация изгибов 256
5.2 Амплитудно-фазовый синтез в математической теории антенн 258
5.2.1 Постановка задачи П.К. Суетина для диаграммы направленности в математической теории антенн 258
5.2.2 Импульс М-Ф и решение задачи об оптимальном выборе диаграммы направленности 259
Заключение 263
Литература
