Введение
Глава 1 Теория выпуклых тел 12
1.1 Опорная функция выпуклого множества 12
Приближение выпуклых тел многогранниками 18
Вычисление площади поверхности и объема выпуклого тела с использованием опорной функции 19
Изопериметрические неравенства 24
1.2 Симметризация и родственные ей преобразования выпуклых тел 25
Симметризация Штейнера 25
Симметризация Шварца 26
Фигуры постоянной ширины 30
1.3 Формализация экстремальных задач геометрии 32
Задача о построении выпуклой фигуры F є F^(A,D), имеющей максимальную площадь поверхности S(F) 33
Задача о построении выпуклой фигуры F є F,(A,D) имеющей минимальную площадь поверхности S(F) 39
Задача о построении выпуклой фигуры Fe F^ (ДЛ), имеющей максимальный объём V(F) 41
Задача о построении выпуклой фигуры Fe F, (ДЛ), имеющей минимальный объём V(F) 43
Глава 2 Решение экстремальных пространственных задач геометрии методом штрафных функций и их аналитическое решение 46
2.1 Аналитический метод решения задач оптимального управления 46
2.2 Аналитическое решение задач о построении выпуклых экстремальных фигур 53
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади поверхности 54
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности 56
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимального объема 59
Аналитическое решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимального объема 60
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры, обладающей максимальной площадью поверхности 62
Аналитическое решение задачи о построении произвольной выпуклой фигуры максимального объема 64
2.3 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимальной площади поверхности методом внешних штрафных функций 65
Дискретная аппроксимация задачи 67
Алгоритм построения решения методом внешних штрафных функций 69
Влияние вычислительных параметров на решение задачи 74
2.4 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности методом штрафных функций 75
Глава 3 Построение экстремальных выпуклых фигур вращения методами нелинейного программирования 81
3.1 Решение задачи о построении центрально-симметричной выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска 80
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска 83
Сравнительный анализ градиентных методов при решении задачи 90
3.2 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимальной площади поверхности методом градиентного спуска 91
3.3 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения максимального объема методом градиентного спуска 96
3.4 Решение задачи о построении выпуклой центрально-симметричной фигуры вращения минимального объема методом градиентного спуска 99
3.5 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимальной площади поверхности методом градиентного спуска 102
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска 106
3.6 Решение задачи о построении выпуклой фигуры вращения максимального объема методом градиентного спуска 110
Глава 4 Решение задач о построении произвольных выпуклых пространственных фигур с экстремальными свойствами методами нелинейного программирования 116
4.1 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела максимальной площади поверхности 116
Алгоритм численного решения задачи методом градиентного спуска 122
4.2 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела минимальной площади поверхности 126
4.3 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела максимального объема 131
4.4 Решение задачи о построении произвольного выпуклого тела минимального объема 135
Заключение 141
Список основной использованной литературы 143
Приложение
Результаты численных экспериментов 151
