Введение
Глава I. Понятия представления гауссовой кривизны и кинематической интегрируемости для уравнений математической физики
1.1. Представление гауссовой кривизны 21
1.1.1. Общие положения 21
1.1.2. Примеры представлений гауссовой кривизны для уравнении математической физики 23
1.2. Представление нулевой кривизны 25
1.2.1. Общие положения 25
1.2.2. Кинематическая интегрируемость уравнений 26
1.2.3. Примеры представлений нулевой кривизны для уравнений математической физики 27
1.3. Структурные уравнения поверхности в Ez 29
1.4. Теорема существования представления нулевой кривизны для представления постоянной гауссовой кривизы уравнений 32
Глава II. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости
2.1. Дифференциальные формы для операторов модифицированного вида задачи Захарова-Шабата 38
2.2. Теорема об отображении класса кинематически интегрируемых уравнений в класс уравнений, допускающих представление постоянной гауссовой кривизны 30
2.3. Дифференциально-геометрический критерий кинематической интегрируемости уравнений 45
2.4. Примеры построения представлений нулевой кривизны и метрик для уравнений математической физики 46
2.4.1. Таблица примеров представлений нулевой кривизны и метрик для уравнений математической физики 46
2.4.2. Псевдосфернческая метрика 48
2.4.3. Сферическая метрика 55
2.4.4. Специальный способ построения псевдосферичсской метрики и операторов представления нулевой кривизны . 57
Глава III. Матрица монодромии и преобразования Бэклунда для уравнений математической физики
3.1. Матрица монодромии и приложения для уравнений математической физики 63
3.1.1. Общие положения 63
3.1.2. Задача Гурса и матрица монодромии 64
3.1.3. Подход к построению матрицы монодромии с помощью калибровочного преобразования специального вида 66
3.2. Преобразования Бэклунда и представление гауссовой кривизны 68
3.2.1. Псевдосферическая метрика общего вида 68
3.2.2. Локальные преобразования Бэклунда для эллиптического уравнения Лиувилля 69
3.2.3. Локальные преобразования Бэклунда для уравнения Бюргерса 70
3.3. Геометрическая интерпретация преобразований Бэклунда
и солитонных решений для уравнения спнус-Гордона 72
3.3.1. Преобразования Бэклунда для уравнения синус-Гордона 72
3.3.2. Геометрическая интерпретация односолитонного решения уравнения синус-Гордона 73
3.3.3. Преобразования Бэклунда для уравнения синус-Гордона и псевдосферпческне поверхности 74
3.3.4. Исследование особенностей псевдосферических поверхностей, отвечающих солптонным решениям уравнения синус-Гордона 74
Заключение 83
Приложение. Некоторые понятия теории мультипли кативного интеграла 88
Список литературы 93
