Введение
1 Сингулярное разложение в некорректных задачах 14
1.1 Понятие г-решения для систем линейных алгебраических уравнений 16
1.1.1 Регуляризация 17
1.2 Понятие s-чисел вполне непрерывного и ограниченного операторов 18
1.2.1 Понятие s-чисел вполне непрерывного оператора 18
1.2.2 Понятие s-чисел ограниченного оператора 22
1.3 Примеры некорректных задач и построение сингулярных чисел 26
2 Определение источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях на части границы области 28
2.1 Физическая и математическая модели 30
2.1.1 Физическая постановка 30
2.1.2 Математическая постановка прямой и обратньгх задач 31
2.1.3 Единственность решения обратной задачи 33
2.2 Численньге алгоритмьг решения прямой задачи 34
2.2.1 Численное интегрирование 35
2.2.2 Метод Фурье 35
2.2.3 Конечно-разностные схемы 37
2.3 Анализ некорректности обратной задачи термоакустики 39
2.3.1 Представление обратных задач в матричном виде 40
2.3.2 Анализ сингулярных чисел дискретных операторов обратных задач 41
2.3.3 Условная устойчивость обратной задачи 42
2.4 Оптимизационные методы численного решения обратных задач термоакустики 44
2.4.1 Выражения для градиентов функционалов, используемых в численных расчетах 46
2.4.2 Численные эксперименты решения обратных задач термоакустики градиентными методами 48
2.5 Сингулярное разложение и прием С.К. Годунова 55
2.5.1 Метод усеченного сингулярного разложения. Анализ численных расчетов 57
2.5.2 Прием С.К. Годунова. Анализ численных расчетов 58
3 Определение источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях в фиксированный момент времени 61
3.1 Постановка задачи 63
3.2 Неустойчивость и неединственность задачи Дирихле 64
3.3 Исследование обратной задачи в случае постоянных коэффициентов 66
3.3.1 Теорема единственности 67
3.3.2 Неустойчивость обратной задачи 68
3.4 Сингулярный анализ обратной задачи
3.4.1 Сингулярное разложение оператора обратной задачи 68
3.4.2 Сингулярный анализ дискретного аналога оператора обратной задачи 70
3.5 Вариационная постановка обратной задачи. Градиент целевого функционала 73
3.5.1 Формула градиента целевого функционала, используемая в численньгх
расчетах 74
3.6 Численньге экспериментьг 76
3.6.1 Метод сингулярного разложения 78
3.6.2 Метод простой итерации 80
3.6.3 Использование г-решения в качестве начального приближения для метода простой итерации 84
4 Определение источника колебаний в волновом уравнении по данным о колебаниях в конечном числе точек 86
4.1 Краткая история изучения задачи определения начального возмущения для линейных уравнений мелкой воды 87
4.2 Постановка задачи и ее разрешимость 88
4.3 Вариационная постановка обратной задачи. Градиент целевого функционала 91
4.4 Численное решение прямой и сопряженной задач: уровень вычислительной ошибки 93
4.5 Степень некорректности обратной задачи 97
4.6 Метод сопряженных градиентов: численные расчеты 100
4.7 Совмещенная постановка обратной задачи для уравнений мелкой воды в линейном приближении 105
4.7.1 Вариационная постановка совмещенной обратной задачи 105
4.7.2 Результаты численных расчетов 106
4.7.3 Преимущество совмещенных данных 108
5 Численный алгоритм определения амплитуды переднего фронта волны 109
5.1 Уравнение эйконала ПО
5.1.1 Уравнение эйконала в геометрической оптике. Принцип Ферма ПО
5.1.2 Схема С.К. Годунова 111
5.1.3 Метод бихарактеристик 113
5.1.4 Метод Рунге-Кутты решения уравнений Эйлера 114
5.1.5 Сравнение метода Годунова и метода бихарактеристик 115
5.2 Алгоритм определения амплитуды фронта волны в случае линейного источника 117
5.2.1 О существовании и единственности решения задачи определения амплитуды переднего фронта волны 119
5.2.2 Сравнение с акустическим фронтом в одномерном случае 120
5.3 Алгоритм определения амплитуды фронта волны в случае точечного источника 121
5.4 Численные эксперименты. Амплитуда переднего фронта волны 125
Заключение 127
Список рисунков 132
Список таблиц 133
Список работ, опубликованных по теме диссертации
