Введение
Глава 1. Методы неполной факторизации для сеточных систем дифференциальных уравнений 14
1.1. Алгебраические особенности сеточных систем уравнений и постановка задачи 14
1.1.1. Основные понятия и обозначения 14
1.1.2. Особенности сеточных систем при неявных аппроксимациях параболических уравнений 15
1.1.3. Постановка двумерной параболической краевой задачи с постоянными коэффициентами 19
1.1.4. Трехмерная эллиптическая краевая задача 20
1.2. Применение итерационных методов для решения сеточных систем 24
1.2.1. Общие свойства и анализ итерационных алгоритмов . 24
1.2.2. Рассмотрение метода сопряженных градиентов 32
1.2.3. Предобусловленный метод сопряженных градиентов . 35
1.2.4. Применение метода неполной факторизации 39
1.2.5. Корректность и устойчивость неполной факторизации . 44
Глава 2. Применение методов неполной факторизации к решению двумерных параболических краевых задач и их матричный анализ 47
2.1. Анализ параболической краевой задачи с постоянными коэффициентами 47
2.1.1. Оценки элементов точных факторизации 47
2.1.2. Получение улучшенных оценок элементов точных факторизации 57
2.2. Оценки неполных факторизации модельной параболической краевой задачи 63
2.2.1. Теорема об оценках норм матриц G 63
2.2.2. Вспомогательные результаты для неполной блочной факторизации 65
2.2.3. Вспомогательные результаты для неполной факторизации Холесского 68
2.2.4. Теоремы об оценках чисел обусловленности предобуславливателей матрицы В 71
2.3. Методы неполной факторизации для параболических краевых задач с переменными коэффициентами 73
Глава 3. Решение трехмерных эллиптических краевых задач методом неполной факторизации 76
3.1. Постановка эллиптической краевой задачи и оценки блочных факторизации 76
3.1.1. Постановка задачи 76
3.1.2. Оценки элементов матрицы Gjj 77
3.1.3. Оценки элементов матрицы компенсации S(j 84
3.2. Оценки неполных факторизации трехмерных эллиптических краевых задач 96
3.2.1. Теорема об оценках норм матриц Gin 96
3.2.2. Вспомогательные результаты для неполной блочной факторизации 97
3.2.3. Теорема об оценках предобуславливателей типа неполной блочной факторизации для эллиптических краевых задач 100
Глава 4. Численное решение эллиптических и параболических краевых задач 101
4.1. Реализация методов решения на основе алгоритмов работы с разреженными матрицами специального вида 101
4.1.1. Схемы хранения разреженных матриц
4.1.2. Алгоритмы работы с разреженными матрицами 105
4.1.2. Реализация методов неполной факторизации 111
4.2. Численный эксперимент 114
Литература 119
Приложение 1 127
