Введение
Глава 1 Исследование автомодельных решений нелинейного уравнения теплопроводности на плоскости 15
1.1 Постановка задачи 15
1.2 Автомодельные решения 16
1.3 Радиально-симметричные решения 19
1.3.1 Связь с решением линеаризованного уравнения 20
1.3.2 Свойства одномерных решений 21
1.3.3 Свойства цилиндрически-симметричных решений 22
1.4 Радиально-несимметричные решения. Численные методы 23
1.4.1 Разностные схемы 23
1.4.2 Метод сшивания 25
1.4.3 Методы мультипликации и последовательных растяжений 29
1.4.4 Метод продолжения по параметру 30
1.5 Классификация СФ 32
1.6 Сравнение множеств СФ при разных значениях а 49
Глава 2 Устойчивость автомодельных решений 52
Введение 52
2.1 Численные методы 53
2.2 Структурная и метастабильная устойчивость автомодельных решений. Эволюция резонансных возбуждений 56
2.3 Эволюция возмущенных автомодельных решений 60
2.4 Эволюция финитных возмущений 63
2.4.1 Эволюция усеченных СФ (с отрезанным " хвостом") 64
2.4.2 Эволюция радиально-симметричных финитных распределений 65
2.4.3 Эволюция радиально-несимметричных решений 66
2.5 Формирование сложных структур 71
Глава 3 Уравнение с квадратичным источником 74
Введение 74
3.1 Теоремы сравнения для нелинейных параболических уравнений 76
3.2 Задача Коши для уравнения с квадратичным источником 76
3.2.1 О затухающих решения 77
3.2.2 Неограниченные решения. Применение теоремы сравнения 78
3.2.3 Интегральное условие возникновения режима с обострением 79
3.3 Поиск частных решений уравнения с квадратичным источником 83
3.4 Аналитическое исследование динамической системы 85
3.4.1 Вспомогательное уравнение 85
3.4.2 Неограниченные и затухающие точные решения 86
3.4.3 Асимптотический анализ динамической системы 91
3.5 Результаты расчётов 97
Основные результаты 104
Литература 105
