Введение
1 Мартингалы со смешанной нормой 30
1.1 Общие определения и факты 30
1.1.1 Смешанная норма мартингалов относительно произвольной возрастающей последовательности а -алгебр 30
1.1.2 Теорема сходимости мартингалов 37
1.1.3 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателей суммируемости 41
1.2 Случай специальной хааровской фильтрации 45
1.2.1 Свойства аппроксимации в случае бесконечно больших показателях суммируемости (продолжение) 45
1.2.2 Характеризация пространств Харди, ВМО и VMO 54
1.3 Случай диадической фильтрации 64
1.3.1 Оценки стохастических экспонент 64
1.3.2 Характеризация в терминах несимметричных пространств последовательностей 72
1.4 Случай потока цилиндрических а -алгебр 80
1.4.1 Пространства со смешанной нормой на декартовом произведении вероятностных пространств 80
1.4.2 Реализация диадической фильтрации в виде декартова произведения 86
1.5 Пространства Lp на бесконечномерном торе 89
1.5.1 Свойства сходимости. Неравенство Юнга. Критерий компактности 89
1.5.2 Оператор Фурье в пространствах Lp (Т) 93
1.5.3 Обобщенные функции (распределения) на бесконечномерном торе 96
1.5.4 Винеровский процесс на Т 100
1.5.5 Гармонические функции на областях в Т 102
1.5.6 Гармонические функции с мартингальной смешанной нормой 111
2 Базисы и операторы в пространствах Lp 118
2.1 Операторы условных матожиданий в пространст вах Lp 118
2.1.1 Связь между пространствами Lp{T) и операторами условного матожидания Е7 .118
2.1.2 Структурные результаты о подпространствах Lp{T) 124
2.2 Теорема Пелчинского для пространств Lp 130
2.2.1 Формулировка теоремы и вспомогательные результаты 130
2.2.2 Доказательство теоремы Пелчинского 134
2.3 Обобщение результатов, справедливых для обычных пространств Lp 138
2.3.1 Ортонормированные системы в пространствах Lp 138
2.3.2 Обобщенные системы Хаара в пространствах Lp со смешанной нормой 147
3 Lp-теория на бесконечномерном торе 153
3.1 Диффузионные процессы на группе Т, функции Литтлвуда-Пэли и операторы типа Рисса 153
3.1.1 Формы Дирихле и симметричные процессы Ханта 153
3.1.2 Неравенства Литтлвуда-Пэли и допустимые операторы 163
3.1.3 Применение к исследованию дифференциальных уравнений 171
3.1.4 Вторая формула Берлинга-Дени на Т .175
3.1.5 Винеровский процесс с отражением и гармонические функции с конечным интегралом энергии 178
3.2 Некоторые обобщения для пространств а,ц 185
3.2.1 Определение и простейшие факты 185
3.2.2 Вопрос двойственности 191
3.2.3 Пространства мартингалов, ограниченных в норме Ca,fj. 194
3.2.4 Пространства а)М(Г) 200
4 Пространства Харди и ВМО 207
4.1 Мультипликаторная теория пространств Харди сосмешанной нормой на бесконечномерном торе 207
4.1.1 Пространства Харди Нр. Двойственность 207
4.1.2 Обобщенные уравнения Коши-Римана 218
4.1.3 Пространства Харди гармонических функций224
4.1.4 Примеры мультипликаторов. Условие (S) 231
4.2 Пространства ВМО (Т). Характеризация интеграла Пуассона 239
4.2.1 Вероятностное пространство Харди Н 239
4.2.2 Пространство ВМО и различные его характеристики 243
4.2.3 Характеризация интеграла Пуассона в пространстве ВМ.О 246
4.2.4 Теорема двойственности и некоторые ее следствия 255
Библиография 285
