Введение
ГЛАВА 1. Тригонометрические и функциональные ряды с неотрицательными частными суммами . 58
1.0. Постановка задач и история их возникновения 58
1.1. Основные идеи оценки сверху коэффициентов функциональных рядов с условиями неотрицательности частных сумм 61
1.2. Об оценках коэффициентов тригонометрических косинус-рядов с неотрицательными частными суммами 70
1.2.1. Основные результаты 70
1.2.2. История результатов 79
1.2.3. Неулучшаемость результатов 81
1.2.4. Основные идеи получения оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу 91
1.3. О тригонометрических косинус-рядах с монотонными коэффициентами и равномерно ограниченными снизу частными суммами 97
1.3.1. Определения. Обозначения. Основные результаты 97
1.3.2. Необходимые и достаточные условия 108
1.4. О коэффициентах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами 117
1.4.1. Постановка задачи, формулировка результатов и обсуждение 117
1.4.2. Доказательства теорем 1.4.1 и 1.4.2 и следствия 1.4.1..120
1.4.3. О поведении частных сумм тригонометрического ряда с неотрицательными частными суммами 124
1.5. О неулучшаемости доказанных оценок сверху частных сумм тригонометрического ряда через оценки снизу 129
1.6. О тригонометрических рядах с неограниченными снизу частными суммами 137
1.6.1. Постановка задачи и история вопроса. Формулировка и обсуждение основного результата 137
1.6.2. Доказательство основной теоремы параграфа 141
1.7. О тригонометрических рядах с неотрицательными частными суммами, которые не являются рядами Фурье-Лебега 147
1.7.1. Постановка задачи, формулировка результатов и обсуждение 147
1.7.2. Доказательство теорем 1.7.2 и 1.7.3 150
1.8. О тригонометрических рядах с лакунами, неотрицательность частных сумм которых означает, что они являются рядами Фурье-Лебега 160
1.8.1. Формулировка результатов и обсуждение 160
1.8.2. Доказательство теоремы 1.8.1 161
1.8.3. Доказательство теоремы 1.8.2 162
1.9. О переносе основного результата на
кратные тригонометрические ряды 162
1.10. Об одной экстремальной задаче 164
1.11. Об оценках коэффициентов конкретных функциональных
рядов с неотрицательными частными суммами 170
ГЛАВА 2. О примерах тригонометрических рядов с неотрицательными частными суммами 177
2.0. Введение. Основной результат. История вопроса 177
2.1. Обозначения и формулировка результатов 181
2.2. Обозначения и некоторые тождества 186
2.3. Основная идея метода оценки снизу частных сумм тригонометрического косинус-ряда с монотонными коэффициентами 191
2.4. Доказательство теоремы 2.1.2 200
2.5. Метод оценки снизу частных сумм специальных тригонометрических рядов 206
2.6. Доказательство теоремы 2.0.1 213
ГЛАВА 3. Об экстремальных задачах, связанных с неотрицательными тригонометрическими полиномами 223
3.0. Введение. Постановка задачи 223
3.1. Основные результаты. Формулировки и обсуждение 224
3.2. Доказательство теоремы 3.1.1 230
3.3. Схема доказательства теоремы 3.1.2 233
3.4. Доказательства лемм 3.3.2 и 3.3.3 235
3.5. Доказательства леммы 3.3.4 238
3.6. Доказательства леммы 3.3.5 242
3.7. Доказательства теорем 3.1.2 и 3.1.3 и следствия 3.1.3 245
3.8. Доказательства следствий 3.1.1 и 3.1.2 247
3.9. Доказательство и обсуждение теоремы 3.1.4 259
Литература 265
