Введение
1 Некоторые задачи термографии и геофизики, приводящие к обратной задаче потенциала и задаче для уравнения Лапласа 16
1.1 Обратная задача термографии. Сведение к обратной задаче потенциала. Концепция аналитического продолжения 16
1.1.1 Проблема обработки ж интерпретации термографических изображений 16
1.1.2 Физическая и математическая модель. Постановка обратных задач 18
1.1.3. Связь обратных задач термографии с обратной задачей потенциала (ОЗП). Некорректность обратных задач термографии 21
1.1.4 Концепция аналитического продолжения. Сведение обратных задач термографии к задачам Коши для уравнения Лапласа , 30
1.2 Задача продолжения потенциального поля 35
1.2.1 О постановках периодических задач продолжения потенциального поля с данными на произвольной поверхности и их связь с задачей Коши для уравнения Лапласа 35
1.2.2 О погрешности периодической модели в задаче продолжения потенциального поля 53
1.2.3 Связь с обратной задачей потенциала 64
1.2.4 Линейная обратная задача потенциала (связь поля с характеристической функцией носителя плотности источников поля) , 65
2 Задача Коши для уравнения Лапласа с данными на поверхностях общего вида 69
2.1 Некоторые постановки задач Коши для уравнения Лапласа с данными произвольной поверхности. Некорректность 69
2.2 Задала Коши для уравнения Лапласа. Устойчивые методы решения . 74
2.3 Задача Коши для уравнения Лапласа. Точное решение 83
2.3.1 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями первого рода 83
2.3.2 ЗКУЛ как смешанная задача в цилиндрической области с граничными условиями второго рода 86
2.3.3 ЗКУЛ с данными Коттга на замкнутой поверхности 87
2.4 Задача Коши для уравнения Лапласа. Устойчивое решение 88
2.4.1 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями первого рода 88
2.4.2 Устойчивое решение ЗКУЛ как смешанной задачи в цилиндрической области с граничными условиями второго рода 91
2.4.3 Устойчивое решение ЗКУЛ с данными Коши на замкнутой поверхности 92
2.5 Об усточивом решениии ЗКУЛ с приближенно заданной границей , 92
2.6 Функция Карлемана-Лаврентьева 102
Устойчивое решение задачи продолжения температурного поля 107
3.1 Устойчивое продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения 107
3.1.1 Продолжение температурного поля в случае граничных условий первого рода 107
3.1.2 Продолжение температурного поля в случае граничных условий второго рода 111
3.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности 112
3.2.1 Определение начала сферической системы координат как центра масс источников тепла 112
3.2.2 Обработка термограмм продолжением температурного поля с замкнутой поверхности 114
Устойчивое решение задачи продолжения потенциального поля 116
4.1 Устойчивое решение задачи продолжения «вертикальной» составляющей потенциального поля 116
4.2 Устойчивое продолжение потенциального поля с учетом погрептности периодической модели 123
4.3 Двумерный аналог преобразования Гильберта в задаче продолжения потенциального поля 137
4.4 Об устойчивом продолжении негармонических потенциальных полей 149
4.5 О равномерном устойчивом приближении решения задачи продолжения потенциального поля 158
4.6. Сходимость устойчивого приближенного решения задачи продолжения потенциального поля по мере 163
4.7 Метод Рунге-Ричардсона уточнения продолженного поля по расширяющимся областям 164
Вычислительные алгоритмы 166
5.1 Об особенностях применения метода Фурье при численном решении задачи продолжения потенциального поля 168
5.1.1 Постановка задачи и ее точное рептение 169
5.1.2 Вычисление коэффициентов Фурье решения смешанной краевой задачи 171
5.1.3 Оценка погрешности при дискретизации задачи 175
5.1.4 Построение и оценка погрешности устойчивого приближенного решения задачи в случае неточно заданных граничных значений 177
5.2 Вычислительные алгоритмы для задачи термографин 180
5.2.1 Продолжение температурного поля в цилиндрическую область прямоугольного сечения 180
5.2.2 Продолжение температурного поля с замкнутой поверхности 181
Вычислительный эксперимент 182
6.1 Обработка термографических изображений методом гармонического продолжения 182
6.1.1 Обработка модельных термографических изображений продолжением в цилинрическую область 182
6.1.2 Численное продолжение температурного поля с замкнутой поверхности 185
6.1.3 Обработка реальных термографических данных 190
6.2 Численное продолжение потенциального поля 192
6.2.1 Численное продолжение поля в «горизонтальной» плоскостях на модельных примерах 192
6.2.2 Восстановление формы неоднородности в плане и сходимость продолженного поля по мере 194
6.2.3 Уточнение продолженного поля методом Рунге-Ричардсона 195
Заключение 197
Литература 200
