Введение 6
1. Одномерные неравенства для суммируемых и квадратично-суммируемых
на отрезке функций 67
§1.1 L1-неравенства с дополнительными слагаемыми . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 68
1.1.1 Неравенства для абсолютно непрерывных функций . . . . . . . . . . . . . . 68
1.1.2 Неравенства для дробных интегралов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 72
§1.2 Неравенства типа Харди и параметрическое уравнение Лэмба . . . . . . . . . . . 78
1.2.1 Свойства функции Бесселя и параметрическое уравнение Лэмба . . . . . . 79
1.2.2 Неравенства на единичном интервале . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 83
1.2.3 Неравенства на произвольном отрезке . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 86
1.2.4 Неравенства с функцией Бесселя в ядре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 89
1.2.5 L2-неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 95
§1.3 L2-неравенства для веса Якоби . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 96
1.3.1 Неравенства на отрезке [0, ρ] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 97
1.3.2 Неравенства для веса Якоби при q ∈ [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 101
1.3.3 Неравенства для веса Якоби при q ∈ [1, 2] . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 103
1.3.4 Сравнение констант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 106
§1.4 Точные одномерные L2-неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.4.1 Усиленные весовые функции . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 109
1.4.2 Недостижимость констант . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 111
1.4.3 Неравенства с тремя дополнительными слагаемыми . . . . . . . . . . . . . . 112
2. Одномерные неравенства в Lp-пространствах и подходы к их
доказательству 116
§2.1 Способ, основанный на применении теоремы о среднем арифметическом . . . . . 117
2.1.1 Неравенства со степенными особенностями . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 117
2.1.2 Точность константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.1.3 Замечание по расширению результатов . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 121
2.1.4 Неравенства с синусами . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 122
2.1.5 Неравенства Харди и уравнения типа Лэмба . . . . . . . . . . . . . . . . . . 124
§2.2 Подход, основанный на применении неравенства Опиала . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2.1 Lp-аналоги неравенства Авхадиева-Виртса (0.0.8) . . . . . . . . . . . . . . . 126
2.2.2 Неравенства Харди и уравнения типа Лэмба . . . . . . . . . . . . . . . . . . 129
§2.3 Метод, основанный на применении леммы Шама . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 132
2.3.1 Вспомогательные утверждения . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 133
2.3.2 Точные интегральные неравенства с весами, зависящими от функции Бесселя134
2.3.3 Lp-аналоги неравенств Авхадиева-Виртса (0.0.9) . . . . . . . . . . . . . . . . 137
§2.4 Неравенства для одной специальной весовой функции . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.4.1 Уравнение и постоянная Лэмба . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.4.2 Первая введенная специальная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 142
2.4.3 Вторая введенная специальная функция . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 144
2.4.4 Одномерные неравенства, родственные результатам Тидблума . . . . . . . 146
§2.5 Об одном дискретном неравенстве типа Харди с логарифмическим весом . . . . . 150
2.5.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 150
2.5.2 Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 152
2.5.3 Точность константы . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 156
3. Пространственные неравенства для функций с финитным носителем 158
§3.1 Геометрические версии L2-неравенств типа Харди . . . . . . . . . . . . . . . . . . 158
3.1.1 Неравенства в произвольных областях в терминах расстояния в среднем . 159
3.1.2 Случай областей, регулярных по Дэвису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 161
3.1.3 Области, удовлетворяющие условию конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.1.4 Области, λ-близкие к выпуклым . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 163
3.1.5 Случай выпуклых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
§3.2 Геометрические версии Lp-неравенств типа Харди . . . . . . . . . . . . . . . . . . 166
3.2.1 Неравенства в произвольных областях в терминах расстояния в среднем . 166
3.2.2 Случай областей, регулярных по Дэвису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 172
3.2.3 Области, удовлетворяющие условию конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 174
3.2.4 Случай выпуклых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 175
§3.3 Неравенства в областях с конечным внутренним радиусом . . . . . . . . . . . . . 179
3.3.1 Неравенства в произвольных областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 180
3.3.2 Случай выпуклых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 184
§3.4 Пространственные неравенства и уравнения типа Лэмба . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.4.1 L1-неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 186
3.4.2 Lp-неравенства . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 187
3.4.3 Функции Бесселя в ядре . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 188
§3.5 Конформно инвариантные неравенства и конформные инварианты . . . . . . . . 190
3.5.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 190
3.5.2 Вспомогательные утверждения и определения . . . . . . . . . . . . . . . . . 193
3.5.3 Основные результаты . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 196
3.5.4 О некоторых приложениях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 204
3.5.5 Некоторые примеры . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 205
3.5.6 Неравенства с дополнительными слагаемыми . . . . . . . . . . . . . . . . . 207
4. Приложения полученных неравенств типа Харди 212
§4.1 Условия однолистности Нехари-Покорного . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 212
4.1.1 Связь неколеблемости решений дифференциального уравнения с
однолистностью . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 213
4.1.2 Расширение известных классов при q ∈ [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . . . . . 215
4.1.3 Случай других односвязных областей при q ∈ [0, 1] . . . . . . . . . . . . . . 217
4.1.4 Достаточные условия однолистности типа Нехари-Покорного при q ∈ [1, 2] 218
4.1.5 Достаточные условия в односвязных областях отличных от круга при q ∈ [1, 2]219
§4.2 Достаточные условия однолистности Беккера для бигармонических отображений 219
4.2.1 Введение . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 220
4.2.2 Основные результаты по достаточным условиям для бигармонических
функций . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 222
4.2.3 Достаточные условия на единичном круге . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 223
4.2.4 Достаточные условия однолистности во внешности единичного круга . . . 232
§4.3 Неравенства Реллиха . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 238
4.3.1 Неравенства в произвольных областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 239
4.3.2 Случай областей, регулярных в смысле Дэвиса . . . . . . . . . . . . . . . . 242
4.3.3 Области, удовлетворяющие условию θ-конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
4.3.4 Случай выпуклых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 244
§4.4 Оценки первого собственного значения p-лапласиана при граничном условии
Дирихле . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.4.1 Оценки в произвольных областях . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 246
4.4.2 Случай областей, регулярных по Дэвису . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 247
4.4.3 Области, удовлетворяющие условию конуса . . . . . . . . . . . . . . . . . . 248
4.4.4 Области, λ-близкие к выпуклым . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 249
4.4.5 Случай выпуклых областей . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . . 250
Заключение 252
Библиография
