Введение
1 Линейные однородные дифференциальные уравнения, связанные с дифференциальными уравнениями второго порядка 22
1.1 Симметрические квазидифференциальные выражения 22
1.1.1 Симметрические дифференциальные выражения 23
1.1.2 Квазипроизводные и симметрические квазидифференциальные выражения 24
1.1.3 Основной класс симметрических квазидифференциальных выра жений п + 1 - го порядка 27
1.2 Теорема о связи квазидифференциалыюго уравнения п+ 1 - го порядка с дифференциальным уравнением второго порядка 29
1.2.1 Формулировка основной теоремы 29
1.2.2 Доказательство 1 30
1.2.3 Доказательство 2 34
1.2.4 Замечание 37
1.3 Частные случаи дифференциального уравнения высокого порядка . 38
1.3.1 Вид уравнения п + 1 - го порядка при малых значениях п . 38
1.3.2 Тождество Клаузена 41
1.3.3 Интеграл Никольсона для функции J^(x) + Y^(x) 45
2 Свойства решений дифференциальных уравнений, связанных с дифференциальными уравнениями второго порядка 49
2.1 О числе нулей решений дифференциального уравнения второго порядка 49
2.1.1 Функция Коши дифференциального уравнения второго порядка . 50
2.1.2 Итерационные ряды для функции Коши 51
2.1.3 Лемма 52
2.1.4 Нули решений дифференциального уравнения второго порядка . 55
2.2 О числе нулей решений квазидифференциалыюго уравнения п + 1 - го
порядка 58
2.2.1 Связь между числом нулей решений уравнений второго и п+1 - го порядков 58
2.2.2 Нули решений дифференциального уравнения высокого порядка 62
2.3 Асимптотика решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка 63
2.3.1 Асимптотика и оценки Лиувилля-Грина для решений дифференциального уравнения второго порядка 63
2.3.2 Асимптотика решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка 65
2.3.3 Оценки решений дифференциальных уравнений п + 1 - го порядка бб
2.4 Квазирегулярность дифференциального выражения п + 1 - го порядка . 68
2.4.1 Минимальный и максимальный операторы. Индекс дефекта минимального оператора 68
2.4.2 Сингулярный дифференциальный оператор, порожденный выражением I 70
2.4.3 Критерий квазирегулярности выражения I 72
2.4.4 Признаки неквазирегулярности выражения I 73
2.4.5 Признак квазирегулярности выражения I 75
Асимптотика решений и оценки типа Лиувилля-Грина для одного клас са систем дифференциальных уравнений 77
3.1 Теорема М.В. Федорюка 77
3.2 Асимптотика решений одного класса систем дифференциальных уравнений 82
3.2.1 Основной класс матриц F 82
3.2.2 Преобразование системы дифференциальных уравнений 84
3.2.3 Теорема об асимптотике решений системы дифференциальных уравнений 84
3.3 Оценки типа Лиувилля-Грина для решений диффереиицальных уравне ний высокого порядка 96
3.4 Примеры 98
3.5 Признаки квазирегулярности выражения т 104
З.С Замечание 105
Литература
