Введение
1 Системы, близкие к двумерным нелинейным гамильтоновым 25
1.1 Двумерные гамильтоновы системы 25
1.2 Автономные возмущения двумерных гамильтоновых систем
1.2.1 Метод усреднения 27
1.2.2 Проблема предельных циклов 29
1.2.3 Поведение решений в окрестности невозмущенных сепаратрис 31
1.3 Периодические по времени возмущения двумерных гамильтоновых систем 32
1.3.1 Вспомогательные преобразования в резонансном случае 33
1.3.2 Усреднение системы в окрестностях индивидуальных невырожденных резонансных уровней 36
1.3.3 Прохождение инвариантного тора через резонанс 40
1.3.4 Глобальный анализ 42
1.3.5 Формула Мельникова 43
2 Проблема предельных циклов в уравнении типа Дюффинга с «гомоклинической восьмеркой» 45
2.1 Постановка задачи 45
2.2 Порождающие функции Пуанкаре-Понтрягина 47
2.3 Анализ областей внутри «восьмерки» 50
2.4 Анализ области вне «восьмерки» 54
2.5 Анализ окрестности «восьмерки» 55
2.6 Глобальный результат 57
3 Проблема резонансов в периодически возмущенном асимметричном уравнении Дюффинга–Ван-дер-Поля 61
3.1 Процедура усреднения 62
3.2 Изучение топологии резонансных зон в областях внутри «восьмерки»
3.2.1 Вычисление усредненной системы 63
3.2.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой через резонансную зону 68
3.3 Изучение топологии резонансных зон в области вне «восьмерки» 76
3.3.1 Вычисление усредненной системы 76
3.3.2 Анализ прохождения замкнутой инвариантной кривой
через резонансную зону 79
3.4 О глобальном поведении решений вне окрестности «восьмерки» 85
4 Бифуркационные и хаотические явления в окрестности «гомоклинической восьмерки» 88
4.1 О гомоклинических бифуркациях 88
4.1.1 Гомоклинические структуры Пуанкаре 89
4.1.2 Бифуркационная диаграмма. Численный анализ 94
4.1.3 Детализация гомоклинических зон с негладкими границами 96
4.2 О фрактальных свойствах границ областей притяжения 101
4.2.1 Анализ областей притяжения неподвижных точек 102
4.2.2 Анализ областей притяжения периодических точек 107
Заключение 114
Список литературы 116
Приложения 126
