Введение
Глава 1. Общая схема предлагаемого подхода к групповому анализу дифференциальных уравнений ^[и,а]=0с переменными коэффициентами (параметрами) а(х): введение равноправия и(х) и а(ж), вычисление группы в расширенном пространстве (ж, и1 = и, и2 = а), изучение и применение ее дифференциальных инвариантов 35
1.1. Предлагаемый подход к выбору и отысканию допускаемой группы при групповом анализе дифференциальных уравнений F[u, а] = 0 с произвольными переменными коэффициентами (параметрами) а{х): введение равноправия и и а и вычисление допускаемой группы в пространстве (х, и1 = и, и2 = а).. 37
1.2. Основные применяемые обозначения и термины группового анализа. Задача группового расслоения (краткое описание) 43
1.3. Общая схема предлагаемого группового подхода и логическая структура диссертации в гл. 1-4. Обратная задача группового расслоения 46
Глава 2. Рассматриваемая группа G и ее свойства. Построение группового расслоения (в явном виде) для широкого класса дифференциальных уравнений с переменным коэффициентом (параметром) и2(х, у) 52
2.1. Группа G. Ее инварианты, дифференциальные инварианты первого и второго порядка, операторы инвариантного дифференцирования 54
2.2. Основные тождества и связи между дифференциальными инвариантами группы G. Связь группы G с дифференциальной геометрией 57
2.3. Теорема о базисе дифференциальных инвариантов группы G 60
2.4. Групповое расслоение для широкого класса дифференциальных уравнений с произвольным переменным параметром и2(х,у) 72
2.5. Примеры классических линейных и нелинейных уравнений математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и2(х,у), допускающих группу G, для которых теоремы п. 2.4.1, 2.4.2 дают групповое расслоение 82
Глава 3. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат выполненного группового анализа 86
3.1. Различные формы системы R и разрешающей системы RE 88
3.2. Разрешающие системы группового расслоения как новый класс дифференциальных уравнений, допускающих представление Лакса. Построение парылакса в явном виде 94
3.3. Некоторое новое дифференциальное тождество как результат применяемого группового подхода и следствия из него 97
Глава 4. Приложения результатов группового подхода, полученных в гл. 1—3, к конкретным дифференциальным уравнениям математической физики с произвольным переменным коэффициентом (параметром) и2(х,у) 103
4.1. Уравнение эйконала и кинематическая задача сейсмики (геометрической оптики). Новое описание с помощью группового подхода 108
4.2. Преобразования некоторых нелинейных дифференциальных уравнений с произвольным переменным коэффициентом (параметром) к классическим обыкновенным дифференциальным уравнениям с помощью группового подхода.Групповое расслоение и представление Лакса 131
4.3. Волновое уравнение с произвольной переменной скоростью распространенияволн. Групповое расслоение и представление Лакса. Сведение обратной задачи к прямой задаче для разрешающей системы. Определение функционалов в локальных обратных задачах 136
4.4. Определение точных инвариантно-групповых решений с помощью метода группового расслоения 147
Глава 5. Некоторые неклассические постановки: прямые и обратные задачи для уравнения смепіанного типа; дискретные обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников 158
5.1. Формулировка и теорема единственности прямой задачи 161
5.2. Представление решения прямой задачи 5.1.1. Случай K(h + 0) Ф 0, K{h - 0) ф 0 164
5.3. Случай уравнения Лаврентьева — Бицадзе. Формулы для решения прямой задачи 5.1.1 173
5.4. Обратные задачи. Случай K(h + 0) ф 0, K(h - 0) ф 0 175
5.5. Общий случай поведения K(z) в точке z = h, где меняется тип уравнения.. 179
5.6. Другие задачи 196
5.7. Физическое содержание прямых и обратных задач для уравнения смешанного типа 197
5.8. Форма решения прямой задачи с точечными источниками, используемая в обратных задачах 199
5.9. Вспомогательные результаты для случая 1, связанные с Т-системами 203
5.10. Обратные задачи об определении произвольного множества точечных источников 209
5.11. Возможные области применения обратных задач об определении произвольного множества точечных источников 226
Заключение 228
Литература 233
Приложения 249
