Введение
0.1 Введение 5
1 Супералгебры, бисупералгебры Ли, супералгебры Хопфа 18
1.1 Введение 18
1.2 Супералгебры Ли классического типа 18
1.2.1 Странная супералгебра Ли Qn 24
1.3 Бисупералгебры Ли 25
1.3.1 Бисупералгебры Ли и тройки Манина 25
1.3.2 Двойственные бисупералгебры и классический дубль 30
1.4 Квазитреугольные и коквазитреугольные супералгебры Хопфа 32
1.4.1 Квазитреугольные супералгебры Хопфа. Основные понятия и результаты 32
1.4.2 Квантовый дубль супералгебры Хопфа 34
1.4.3 Категории представлений. Тензорные и квазитензорные категории 37
1.5 Квантование. Основные принципы 38
1.5.1 Квантование топологических супералгебр 38
1.5.2 Вычисление когомологий базисных супералгебр Ли 45
1.5.3 Квантование на языке тензорных категорий 48
1.6 Квантование комодулей 50
1.6.1 Квантование комодулей. Общие принципы 50
1.6.2 Теоремы существования и единственности для комодульных супералгебр 52
1.7 Квантование бисупералгебры Ли полиномиальных токов g[t] 53
2 Янгиан супералгебры Ли типа A(m,n). Универсальная R-матрица 59
2.1 Введение 59
2.2 Янгиан супералгебры Ли типа A(m,n). Токовая система образующих
2.2.1 Определение токовой системы образующих 61
2.2.2 Эквивалентность двух определений янгиана 64
2.3 Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для янгиана Y (A(m,n)) 71
2.3.1 Базис Пуанкаре-Биркгофа-Витта 72
2.3.2 Доказательство теоремы Пуанкаре-Биркгофа-Витта 74
2.4 Квантовый дубль янгиана супералгебры Ли типа A(m,n) 76
2.4.1 Определение квантового дубля DY (A(m,n)) 76
2.4.2 Треугольное разложение и формулы спаривания 79
2.5 Вычисление универсальной R- матрицы 86
2.5.1 Вычисление универсальной R- матрицы квантового дубля янгиана DY (g) 86
2.5.2 Вычисление универсальной R- матрицы янгиана Y (A(m, n))) 91
2.6 Хопфова структура и конструкция изоморфизма между двумя реализациями
янгиана Y (A(m, n)) 96
Янгиан супералгебры Ли типа A(m,n). Теория представлений 100
3.1 Теория представлений янгиана супералгебры Ли типа sl(1,2) 100
3.1.1 Определение янгиана супералгебры Ли типа sl(1,2) 100
3.1.2 Корневые образующие. Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для Y (sl(1,2))101
3.1.3 Представления янгиана супералгебры Ли типа sl(1,2)
3.2 Корневые образующие и теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для Y (A(m, n)) 108
3.3 Представления янгиана супералгебры Ли типа A(m,n)
3.3.1 Основные определения 109
3.3.2 Основные понятия теории представлений янгианов 110
3.3.3 Вспомогательные утверждения 112
3.3.4 Теорема о классификации 114
3.3.5 Сравнение с результатами Р.Б. Жанга 118
3.4 Представления янгиана супералгебры Ли типа A(n,n) 121
3.4.1 Основные определения 122
3.4.2 Теорема о классификации 123
4 Янгианы базисных супералгебр 127
4.1 Введение 127
4.2 Базисные супералгебры Ли
4.2.1 Основные определения 128
4.2.2 Примеры базисных супералгебр Ли 129
4.3 Бисупералгебры Ли 131
4.3.1 Основные определения 131
4.3.2 Примеры токовых бисупералгебр Ли
4.4 Квантование бисупералгебры Ли полиномиальных токов g[t] 133
4.5 Янгиан базисной супералгебры Ли, токовая система образующих
4.5.1 Формулировка основных результатов 136
4.5.2 Доказательства основных результатов 142
4.6 Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта для янгиана базисной супералгебры Ли 148
4.6.1 Формулировка теоремы 148
4.6.2 Доказательство теоремы
4.7 Квантовый дубль янгиана базисной супералгебры Ли 153
4.8 Треугольное разложение и формулы спаривания
4.8.1 Треугольное разложение 157
4.8.2 Формулы спаривания
4.9 Вычисление универсальной R- матрицы квантового дубля янгиана базисной супералгебры Ли DY (g) 163
4.10 Вычисление универсальной R- матрицы янгиана Y (g) базисной супералгебры Ли 168
4.11 Классификация неприводимых представлений янгианов базисных супералгебр Ли
4.11.1 Представления янгиана базисной супералгебры Ли g 171
4.11.2 Классификация конечномерных неприводимых представлений янгиа-на базисной супералгебры Ли 173
5 Янгиан странной супералгебры Ли типа Qn 175
5.1 Введение 175
5.2 Странная супералгебра Ли типа Qn 176
5.3 Бисупералгебры Ли 183
5.4 Квантование бисупералгебры Ли скрученных токов 189
5.5 Токовая система образующих
5.5.1 Формулировка основных результатов 200
5.5.2 Доказательства основных результатов
5.6 Янгиан супералгебры Ли Q2 215
5.7 Квантовый дубль 215
5.8 Треугольное разложение и формулы спаривания
5.8.1 Треугольное разложение. 219
5.8.2 Вычисление формул спаривания 225
5.9 Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта 229
5.9.1 Формулировка теоремы 229
5.9.2 Доказательство теоремы 230
5.10 Вычисление универсальной R-матрицы квантового дубля DY (Qn) 233
5.10.1 Вычисление универсальной R-матрицы квантового дубля DY (Qn) с "дринфельдовским"коумножением 233
5.10.2 Вычисление универсальной R-матрицы 233
5.11 Вычисление универсальной R- матрицы янгиана Y (Qn) 240
6 Квантованные универсальные обeртывающие аффинных алгебр Каца-Муди 244
6.1 Введение 244
6.2 Квантованная универсальная обeртывающая аффинной алгебры Ли типа A(11)
6.2.1 Определение квантованной универсальной обертывающей алгебры Ли-Каца-Муди 245
6.2.2 Квантовая аффинная группа Вейля 246
6.2.3 Определение корневых векторов при помощи квантовой группы Вейля 247
6.2.4 Вычисление универсальной R- матрицы 252
6.3 Квантованная универсальная обeртывающая аффинной алгебры Ли типа A(n1 ) 257
6.3.1 Новая система образующих для квантовой аффинной нескрученной алгебры 257
6.3.2 Теорема Пуанкаре-Биркгофа-Витта 259
6.3.3 Структура квантового дубля 261
6.3.4 Вычисление универсальной R-матрицы 265
6.4 Квантовая аффинная супералгебра Uq(A(1)(m, n)) 265
6.4.1 Определение квантовой аффинной супералгебры Uq(A(1)(m, n)) 265
6.4.2 Новая система образующих для квантовой аффинной нескрученной супералгебры 266
6.4.3 Структура квантового дубля 267
6.4.4 Формула для универсальной R-матрицы 267
6.5 Связь между янгианами и квантовыми аффинными супералгебрами 267
7.1 Заключение 279
A Скрученные янгианы базисных супералгебрЛи 282
A.1 Введение 282
A.2 Четверки Манина и их некоммутативные деформации 284
A.2.1 Супералгебра Ли скрученных токов 284
A.2.2 Примеры скрученных токовых супералгебр Ли 286
A.2.3 Бисупералгебры Ли и полубисупералгебры Ли 288
A.3 Квантование. Определение скрученного янгиана 290
A.4 Скрученные янгианы и янгиан супералгебры Ли типа Qn 293
A.5 Токовая система образующих 295
A.6 Квантовый дубль 296
A.7 Треугольное разложение 298
A.8 Дальнейшие результаты 300
A.8.1 Вычисление универсальной R- матрицы 300
A.9 Скрученный янгиан супералгебры Ли типа C(n) = osp(2,2n) 305
A.9.1 Супералгебра Ли типа C(n) и еe диаграммные автоморфизмы 305
A.9.2 Скрученная аффинная супералгебра Ли sl(2,2n)(2) 305
A.10 Скрученный янгиан супералгебры Ли типа D(m,n) 305
A.10.1 Скрученная супералгебра токов D(m,n)tw[t] 305
A.10.2 Скрученный янгиан Y (D(m, n))tw 306
