Введение
Глава 1. Введение 7
1.1. Общая характеристика работы 7
1.1.1. Актуальность темы диссертации 7
1.1.2. Цели и задачи диссертационной работы 9
1.1.3. Научная новизна работы 10
1.1.4. Теоретическая и практическая значимость работы 11
1.1.5. Методология и методы исследования 13
1.1.6. Положения, выносимые на защиту 14
1.1.7. Публикации 14
1.1.8. Апробация результатов 16
1.1.9. Структура и объем диссертации 17
1.2. Асимптотические методы для уравнения реакции-диффузии 18
1.2.1. Постановка задачи для уравнения реакции-диффузии 18
1.2.2. Понятие контрастной структуры 20
1.2.3. Асимптотические методы 22
1.2.4. Метод дифференциальных неравенств 27
1.2.5. Периодические по времени решения уравнения реакции-диффузии 30
1.2.6. Решения уравнения реакции-диффузии типа движущегося фронта 31
1.2.7. Устойчивость решений для уравнения реакции-диффузии 32
1.2.8. Формальная асимптотика для неоднородности с кратными корнями 33
1.2.9. Контрастные структуры типа всплеска 34
1.2.10. Интегродифференциальные уравнения 35
1.2.11. Многомерные контрастные структуры 36
1.2.12. Системы уравнений с малым параметром з
1.3. Обобщенное уравнение Колмогорова-Петровского-Пискунова 38
1.3.1. Постановка задачи 38
1.3.2. Обобщенные решения 40
1.3.3. Физические модели для ОКПП члена uxxt 41
1.3.4. Принцип сравнения 44
Глава 2. Асимптотический метод исследования несбалансированного уравнения ОКПП 47
2.1. Постановка задачи 47
2.1.1. Условия формирования ВПС 47
2.2. Формальная асимптотика 48
2.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложения 50
2.2.2. Нулевой порядок асимптотики 51
2.2.3. Первый порядок асимптотики 52
2.2.4. Последующие порядки асимптотики 55
2.3. Обоснование метода 55
2.3.1. Принцип сравнения для ОКПП 55
2.3.2. Построение верхнего и нижнего решений 58
2.3.3. Обоснование верхнего и нижнего решений 60
Глава 3. Асимптотические методы исследования сбалансированного уравнения ОКПП 65
3.1. Постановка задачи 65
3.1.1. Условия для формирования ВПС 65
3.2. Формальная асимптотика 66
3.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложения 66
3.2.2. Нулевой порядок асимптотики 69
3.2.3. Первый порядок асимптотики 71
3.2.4. Второй порядок асимптотики 74
3.2.5. Последующие порядки асимптотики 76
3.3. Обобщенный принцип максимума 77
3.4. Применение метода дифференциальных неравенств
3.4.1. Построение верхнего и нижнего решений 79
3.4.2. Обоснование верхнего и нижнего решений 82
Глава 4. Асимптотический анализ уравнения ОКПП в окрестно сти особой точки 86
4.1. Постановка задачи 86
4.2. Построение формальной асимптотики
4.2.1. Алгоритм построения асимптотического разложения 89
4.2.2. Нулевой порядок асимптотики 91
4.2.3. Первый порядок асимптотики 92
4.3. Особые точки контрастной структуры 95
4.3.1. Останавливающая особая точка 96
4.3.2. Проходимая особая точка 96
4.3.3. Особая точка, запертая в нулевом приближении, для кубической неоднородности 97
4.3.4. Особая точка, запертая в нулевом приближении, для квадратичной неоднородности 97
4.3.5. Степенная особая точка, проходимая в нулевом приближении
4.4. Второй порядок асимптотики 98
4.5. Третий порядок асимптотики 101
Глава 5. Существование обобщенного решения для уравнения ОКПП 104
5.1. Постановка задачи обобщенного решения 104
5.1.1. Оператор J — є2А и его свойства 109
5.1.2. Операторная запись уравнения КПП 111
5.1.3. Теорема о глобальной разрешимости 112 5.2. Теорема сравнения 114
5.3. Разрывная функция плотности источников 1 5.3.1. Основные предположения 119
5.3.2. Асимптотические ряды 121
5.3.3. Асимптотическое разложение и сшивание 122
5.3.4. Нулевой порядок асимптотики 124
5.3.5. Первый порядок асимптотики 124
5.3.6. Вычисление скорости дрейфа нулевого порядка 126
5.3.7. Второй порядок асимптотики 128
5.3.8. Условие сшивания второго порядка 129
5.3.9. Последующие порядки 130
5.3.10. Построение верхнего и нижнего решений 130
5.3.11. Обоснование верхнего и нижнего решений 133
Глава 6. Численный эксперимент 136
6.1. Дискретная аппроксимация уравнения ОКПП 136
6.2. Результаты численного моделирования для уравнений РД и ОКПП 1 6.2.1. Дрейф КС для уравнения РД 139
6.2.2. Дрейф КС для уравнения ОКПП 140
6.2.3. Дрейф ВПС для уравнения РД в случае пяти корней вырожденного уравнения 141
6.2.4. Влияние скоростей различных порядков на движение ВПС для уравнений РД и ОКПП 143
6.3. Численное моделирование задач с особой точкой 145
6.3.1. Сверхкритический режим остановки ВПС для уравнения РД 145
6.3.2. Критический режим остановки ВПС для уравнения РД 147
6.3.3. Докритический режим остановки ВПС для уравнения РД 148
6.4. Запертые КС для уравнений РД и ОКПП 149 6.4.1. Дрейф для сбалансированного уравнения РД в критическом случае 151
6.4.2. Градиентный дрейф сбалансированного уравнения ОКПП со средним значением /І 151
6.4.3. Градиентный дрейф сбалансированного уравнения ОКПП с большим значением /І 152
6.4.4. Несбалансированная задача с непроходимой особой точкой 153
6.5. Проходимая особая точка для уравнения ОКПП 155
6.5.1. Несбалансированная задача с проходимой особой точкой для ОКПП 155
6.5.2. Сбалансированная задача с проходимой особой точкой для ОКПП 156
6.6. Разрывная функция плотности источников 158
6.6.1. Исследование задач с разрывной функцией плотности источников 158
6.6.2. Величина скачка 5U = 0,1 159
6.6.3. Величина скачка 5U = 0,01 159
6.6.4. Комбинированная разрывная функция плотности источников с гладкой частью и скачком SU = 0, 01 160
Заключение 163
Список литературы
